¿Cómo resolver este problema? Se trata de cómo extender una medida de un sistema pi a una sigma-álgebra

Question

Dejemos que $\nu$ y $\lambda$ sean dos medidas sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ tal que $\nu(A)=\lambda(A)$ para cualquier $A\in \mathcal{C}$ , donde $\mathcal{C}$ es un $\pi$ -sistema. Supongamos que hay $A_i\in \mathcal(C),i=1,2,...$ tal que $\cup A_i=\Omega$ y $\nu(A_i)<\infty$ para todo i. Necesito demostrar que $\nu(A) =\lambda(A) $ para cualquier $A\in \sigma(C)$ . ( He tratado de demostrar que $\{A\in \sigma(\mathcal{C})\nu(A) =\lambda(A)\}$ es un álgebra sigma, pero he fallado. Gracias de antemano)

Answer 1

La colección de conjuntos en los que coinciden dos medidas es un sistema de Dynkin. Si $\cal P$ es un $\pi$ -contenida en un sistema Dynkin, entonces $\sigma(\cal P)$ es también un subconjunto de ese sistema Dynkin.