Multiplicación de números de distinta base con el mismo exponente

Question

Resolver un problema de simplificación ("simplificar $(2^n-2^{n-1})(3^n-3^{n-1})")$ tengo esto: $$ 2^n\cdot 3^n $$

No recuerdo haber aprendido sobre la multiplicación de números con diferentes bases e iguales exponentes, pero haciendo algunas pruebas adiviné que la respuesta era $6^n$ y resultó ser correcto.

¿Esta propiedad es siempre aplicable? ¿Cómo se puede demostrar esta propiedad de forma generalizada?

Answer 1

Básicamente, proviene de las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación. Digamos que tenemos $2^3\cdot 3^3$ . Esto da $(2\cdot 2 \cdot 2)\cdot(3\cdot 3\cdot 3)$ . Utilizando la asociatividad y la conmutatividad, podemos reescribir esto como $(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)$ o, $6\cdot 6\cdot 6$ o $6^3$ . Como puedes ver, al ser los exponentes iguales, podemos hacer coincidir cada base con la otra. No depende del valor de $n$ . Por lo tanto, $A^n\cdot B^n = (AB)^n$ .

Answer 2

Dejemos que $a,b \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$ De manera básica, podemos interpretar $a^n$ como el producto de $a$ con ella misma $n$ veces, así que:

$(ab)^n=ab\cdots ab=a\cdots a b \cdots b=a^nb^n$ .