Función continua y propiedad creciente

Question

Supongamos que $f(x)$ es una función continua. Además, tenemos que para todo $y>0$ existe $\epsilon>0$ tal que para todo $x \in (y-\epsilon, y)$ tenemos $f(x)<f(y)$ . A partir de esto quiero demostrar que $f(x)$ es una función creciente.

Para demostrarlo, asumo que $f$ no es creciente e intenta demostrarlo por contradicción. Si niego $f$ es creciente entonces eso significa que para $x<x+1$ , $f(x)>f(x+1)$ . Entonces, ¿cómo terminar esta prueba?

Esto es lo que he probado hasta ahora. Cuando asumimos que $f$ no es creciente lo que significa que podemos encontrar un intervalo que para todo $x \in (y-\epsilon,y_*)$ , ( $y_*<y$ ), tenemos $f(x)>f(y_*)$ . Entonces (a partir del hecho de que para todo $y$ existe $\epsilon$ ), para $y_*$ existe $\epsilon_*>0$ tal que para todo $x \in (y_*-\epsilon_*,y_*)$ tenemos $f(x)<f(y_*)$ . Eso contradice nuestra suposición, $f(x)>f(y_*)$ .

¿Lo he entendido bien?

Answer 1

Supongamos que $f(a)>f(b)$ con $b>a$ entonces por el EVT (teorema del valor extremo) debe alcanzar un mínimo en [a,b].Cualquier $c\in (a,b]$ no puede tener un valor mínimo por el $\varepsilon$ -condición. Y $f(a)$ tampoco puede ser mínimo por nuestra suposición. Entonces, tenemos una contradicción

Answer 2

pista

$\inf \{x| f(t)\leq f(y) \forall t\in (x,y) \}= -\infty$