Aclaración sobre la homología relativa

Question

Supongamos que tenemos espacios topológicos $A$ , $B$ $\subset$ X. Supongamos además $A$ , $B$ son homeomórficos. Entonces, ¿no debería deducirse directamente de las definiciones que $H_{n}(X,A)$ y $H_{n}(X,B)$ son isomorfos, ya que los complejos de cadena , $C_{n}(X)/C_{n}(A)$ , $C_{n}(X)/C_{n}(B)$ debe ser isomorfo.

Sin embargo, en este ejercicio de Hatcher P-132 , Ejercicio 17(b), esto no ocurre. Usando el hecho de que tenemos un buen par, puedo calcular la homología relativa en este caso y resultan ser diferentes para ambos casos. No consigo entender la laguna en mi razonamiento del primer párrafo. Quizás no he considerado bien los mapas de frontera.

Answer 1

Al calcular la homología, no sólo son importantes los complejos de cadena, sino también los mapas de frontera. Dado que $A$ y $B$ se incluyen de diferentes maneras en la estructura del complejo simplicial de $X$ en el problema al que haces referencia, los mapas de frontera serán diferentes, por lo que los grupos de homología también serán diferentes. También hay un teorema, que probablemente ya estés utilizando: si $(X,A)$ es un buen par, $$H_n(X,A)=\tilde H_n(X/A).$$ Debido a la diferente inclusión de $A$ y $B$ en $X$ los espacios $X/A$ y $X/B$ no son homeomórficos. Uno es la cuña de dos toros, el otro es un toro con dos pintas identificadas. Como son espacios diferentes, no esperamos que sus grupos de homología reducida sean iguales.