Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ existe

Question

Dada una función $f:[0,2]\to\Bbb R$ :

$$f(x)= \begin {cases} 4x-3 & 0 \le x \le 1 \\ 3x^2-2x & 1 \le x \le 2 \end {cases}$$

Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ existe.

Mi intento

$$\begin{array}{rcl} \textrm {L.H.L} &=& \displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)\\ &=& \displaystyle \lim_{x\to 1^-} (4x-3) \end{array}$$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Tenga en cuenta que $4x-3 \to 1$ como $x \to 1-$ . Sólo tiene que comprobar el límite de $f(x)$ como $x \to 1+$ . Por construcción tenemos $f(x) = 3x^{2}-2x$ para todos $1 < x \leq 2$ y $3x^{2}-2x \to 1$ como $x \to 1+$ . Así que $\lim_{x \to 1}f(x) = 1$ .

Answer 2

¿Cómo puedo seguir adelante?

No te detengas después del límite de la izquierda, encuentra también el límite de la derecha y verifica que son iguales. Si: $$f(x)=\begin{cases} \color{blue}{4x-3} & {0\le x\leq 1}\\ \color{red}{3x^2-2x} & {1\le x\le 2} \end {cases}$$ entonces: $$\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = \lim_{x\to 1^{-}} \left( \color{blue}{4x-3} \right) = \ldots \quad \mbox{and} \quad \lim_{x\to 1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{+}} \left( \color{red}{3x^2-2x} \right) = \ldots$$ Ambas funciones son polinomios y, por lo tanto, continuas en todas partes: se encuentran los límites simplemente enchufando. ¿Puedes rellenar los huecos/puntos?

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Estrictamente hablando, la forma en que se define la función en los dos intervalos implica de alguna manera que el límite existe porque al tener el doble $\color{green}{\le}$ en el punto final $x=1$ sólo puede tener sentido si los valores de la función para ambas expresiones coinciden (ya que una función no puede tener más de un valor de función en cualquier punto): $$f(x)=\begin{cases} {4x-3} & {0\le x\color{green}\le 1}\\ {3x^2-2x} & {1\color{green}\le x\le 2} \end {cases}$$

Answer 3

Los trozos de función dados son continuos, ya que son polinomios.

Entonces

$$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}4x-3=4\cdot1-3=1$$ y

$$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}3x^2-2x=3\cdot1-2\cdot1=1.$$

Como son iguales, existe el límite ordinario.