¿Cómo puedo demostrar que si $$Dm^2 - n^2D^2$$ es un cuadrado perfecto para algunos enteros $m$ y $n$ ( $n \neq 0$ ), $D$ es la suma de dos cuadrados perfectos (no nulos)? He intentado resolver para $D$ pero eso sólo me da $$D = \frac{m^2}{2n^2} \pm \frac{\sqrt{m^4 - 4n^2 k^2}}{2n^2}$$ para los enteros $m$ , $n$ y $k$ que no parece más fácil.
EDITAR: $D$ no debe ser un cuadrado perfecto.
Si $Dm^2-D^2n^2= a^2$ entonces $Dm^2$ es una suma de dos cuadrados. Ahora bien, un número entero es una suma de dos cuadrados si y sólo si todos los primos $\equiv 3 \mod 4$ en su factorización ocurren con multiplicidades pares. La presencia del cuadrado extra $m^2$ no afecta a esta condición, por lo que $D$ es una suma de dos cuadrados, también.
La proposición es falsa. Supongamos que cada divisor primo (si lo hay) de $D$ es congruente con $3$ modulo $4$ y que $D$ es un cuadrado. Entonces $D$ no es la suma de dos cuadrados no nulos. Supongamos que $(p,q,r)$ es cualquier triplete pitagórico con $p^2=q^2+r^2$ . Dejemos que $D=E^2$ . Tenemos $D(Ep)^2-q^2D^2=(rD)^2.$ Ejemplos:(I)D=1,m=5,n=4. (II).D=9,m=15,n=4.
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