Traducciones en dos dimensiones: la teoría de grupos

Question

Acabo de empezar el aprendizaje de la Mentira de los Grupos y el Álgebra. Considerando un televisor de 2-d plano si queremos traducir un punto de$(x,y)$$(x+a,y+b)$, entonces podemos escribir como :

$$ \left( \begin{array}{ccc} x+a \\ y+a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \end{array} \right)$$

Ahora el conjunto de todas las traducciones $ T = \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \end{array} \right) $ forma de dos parámetros de la mentira de grupo (supongo) con la adición de la columna como la composición de la regla.

Si eso es así, ¿cómo ir sobre la búsqueda de los generadores de esta transformación. Sé que los generadores de traducción son lineales momenta en las direcciones correspondientes. Pero yo no soy capaz de ver esto aquí.

PS: En mi curso me ha enseñado que los generadores se encuentran mediante el cálculo de la expansión de Taylor de el elemento de grupo acerca de la Identidad del grupo. Por ejemplo, $\operatorname{SO}(2)$ grupo $$ M = \left( \begin{array}{cc} \cos \:\phi & -\sin \:\phi \\ \sin \:\phi & \cos \:\phi \end{array} \right) $$ Puedo obtener el generador tomando $$ \frac{\partial M}{\parcial \phi}\Bigg|_{\phi=0} = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$

Ahora si me exponentiate esto, puedo obtener de nuevo el elemento de grupo. Mi pregunta ¿cómo puedo hacer esto por el grupo de Traducción.

EDIT :Esta edición es resumir y obtener una vista de las respuestas obtenidas.

En primer lugar, la representación vectorial de la traducción de grupo (2D) en general tiene la forma : $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & a_x\\ 0 & 1 & a_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ $$ con los generadores (elementos de álgebra de la Mentira) $$ T_x =\begin{pmatrix} 0 & 0 & i\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\ , \;\; T_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\ $$

En segundo lugar, el escalar-campo de representación de la misma está dada por los operadores diferenciales $$ exp^{ i(a_x\frac{\partial}{\partial x}+ a_y\frac{\partial}{\partial y} )} $$ con los generadores de $$ T_x^s = i\frac{\partial}{\partial x},\;\;T_y^s = i\frac{\partial}{\partial y} $$

La Mentira de álgebra es de dos dimensiones y abelian : $ [T_x,T_y] = 0$

Answer 1

Para una cosa, es imposible escribir un valor distinto de cero de la traducción en $\mathbb R^2$ como una transformación lineal (matriz). Os animo a probar esta. Por lo tanto, desde exponentiating una matriz da otra matriz, dado un valor distinto de cero traducción de $T(\mathbf x) = \mathbf x + \mathbf a$, no existe una matriz de $M$ que $T(\mathbf x) = e^M\mathbf x$ todos los $\mathbf x\in\mathbb R^2$.

Sin embargo, vamos a $f$ denotar un suave con un valor real de la función de la línea real, entonces traducciones actuar en una función como la siguiente: \begin{align} (T_af)(x) = f(x+a). \end{align} Ahora, observe que la expansión de Taylor da \begin{align} f(x+a) &= \left(1 +a\frac{d}{dx} + \frac{a^2}{2!}\frac{d^2}{dx^2} + \cdots + \frac{a^n}{n!}\frac{d^n}{dx^n} + \cdots\right)f(x) \\ &= \exp\left(a\frac{d}{dx}\right) f(x) \end{align} para que la traducción del operador puede ser escrito como la exponencial de la derivada; \begin{align} T_a = \exp\left(a\frac{d}{dx}\right) \end{align} Pero recordemos que, hasta la normalización, la derivada es precisamente el impulso del operador en la posición de la representación del espacio de una partícula que se mueve sobre la recta real, en la mecánica cuántica. Esta es una manera de ver que el impulso genera traducciones.

Esto se puede generalizar a dimensiones superiores donde el generador de traducciones en el sentido de la norma ordenó a base de vectores $\mathbf e_1$$\partial/\partial x^i$.

Answer 2

El problema es que las traducciones que añadir un homogénea en la pieza y lo que no hay la matriz asociada con ella. Cambie a la siguiente, de modo que podemos asociar una matriz: $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}\ . $$ Tenga en cuenta que $(x,y,1)$ tiene los mismos datos como $(x,y)$ y por lo tanto ambos son realizaciones de espacio Euclidiano. Ahora usted puede escribir a la $3\times 3$ matriz como la exponencial de (la nilpotent de la matriz) $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 &a \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\ . $$ Esta construcción está relacionada con el hecho de que las dos dimensiones Euclidianas grupo puede ser obtenida como (Inonu-Wigner) la contracción de $SO(3)$ (pero no te preocupes si esta declaración no tiene sentido inmediato). Así que ahora usted obtener tres de los generadores de la Mentira de álgebra para la distancia Euclídea grupo: $$ P_x\sim \begin{pmatrix} 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\quad P_y\sim \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\textrm{y} \quad M \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Answer 3

Como suresh se menciona si el vector es sólo una de dos componentes de objeto, entonces usted no puede traducir sin necesidad de ampliar el vector. Sin embargo, si se considera el vector de variables (que son esencialmente infinito de vectores), entonces puede ser traducido.

Para encontrar la diferencial de la forma de una traducción, empezar con la traducción de una 1D dimensiones del vector, $x$: \begin{align} e ^{ i\epsilon {\cal P} } x & = x + \epsilon \\ \left( 1 + i \epsilon {\cal P} \right) x &= x + \epsilon \\ {\cal P} x & = - i \end{align} Por lo tanto debemos tener $ {\cal P} = - i \frac{ \partial }{ \partial x } $.

Ahora bien, es fácil de extender esto a dos dimensiones:

\begin{align} e ^{ i\epsilon _x {\cal P} _x + i \epsilon _y {\cal P} _y } \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} x + \epsilon _x \\ y + \epsilon _y \end{array} \right) \\ i \left( \epsilon _x {\cal P} _x + \epsilon _y {\cal P} _y \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} x + \epsilon _x \\ y + \epsilon _y \end{array} \right) \end{align} donde tenemos dos diferentes generadores ya que tiene dos grados de libertad en la transformación que se dio en su pregunta. Esta expresión requiere, \begin{align} & {\cal P} _x = \left( \begin{array}{cc} - i \frac{ \partial }{ \partial x } & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \\ & {\cal P} _y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & - i \frac{ \partial }{ \partial y } \end{array} \right) \end{align}