Demostrar que $\log_52$ es irracional

Question

Demostrar que $\log_5(2) \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ (números irracionales).

Sé que ya hay una pregunta para esto, pero mi problema es que necesito demostrarlo usando el teorema fundamental de la aritmética. No se me da muy bien demostrar por este método, así que agradecería que me lo aclararan y me ayudaran. Lo que tengo hasta ahora: Supongamos, a modo de contradicción, que $\log_5 (2)$ es racional, entonces se puede escribir como $\log_5 (2)= m/n$ para algunos $m$ , $n$ que son enteros Entonces $5^{m/n} = 2$ lo que equivale a $5^m = 2^n$ . Ahora estoy atascado aquí. ¿Dónde entra el teorema fundamental de la aritmética y cómo puedo utilizarlo para demostrar que $5^m = 2^n$ no puede ser cierto?

Answer 1

El teorema fundamental de la aritmética dice que $5^m$ y $2^n$ cada uno tiene una única factorización primaria, que ha mostrado. Si fueran iguales, tendrías un número con dos factorizaciones.

Answer 2

$$\log_5 (2)= m/n\implies m,n\ne 0 $$ y WLOG $m,n\gt 0$ Pero $5^m$ es siempre impar mientras que $2^n$ es siempre igual por lo que no pueden ser iguales.

Answer 3

El teorema fundamental de la aritmética es que todo número puede escribirse de forma única como el producto de factores primos.

Ahora, $2^n$ y $5^m$ puede escribirse de forma única como producto de factores; de ahí las representaciones:

$$2^n = 2 \times 2 \times \cdots \times 2$$

$$5^m = 5 \times 5 \times \cdots \times 5$$

$n$ tiempos y $m$ veces, respectivamente, son únicos.

¿Cuál es la conclusión?