$(\ker (f))_{\frak{p}}=\ker (f_{\frak{p}})$

Question

Supongamos que $R$ es un anillo y $M,N$ son $R$ -módulos y $f:M\to N$ es un $R$ -mapa lineal.

Si $\frak{p}$ es un ideal primo de $R$ , entonces tenemos un $R$ -mapa lineal $f_{\frak{p}}:M_{\frak{p}}\to N_{\frak{p}}$ (donde $M_{\frak{p}}:=M/\mathfrak{p}M$ y $N_{\frak{p}}:=N/\mathfrak{p}N$ ) definida por $f_{\frak{p}}([m])=[f(m)]$ .

Estoy tratando de demostrar que $(\ker (f))_{\frak{p}}=\ker (f_{\frak{p}})$ .

Es obvio comprobar la inclusión $\subset$ pero estoy teniendo problemas con $\supset$ . Supongamos que $[m]\in\ker(f_{\frak{p}})$ . Entonces, $[0]=f_{\frak{p}}([m])=[f(m)]$ Así que $f(m)\in\mathfrak{p}N$ o $m\in f^{-1}(\mathfrak{p}N)$ . Estoy tratando de demostrar que $f^{-1}(\mathfrak{p}N)=\mathfrak{p}M+\ker(f)$ Lo cual parece bastante intuitivo, pero no sé cómo demostrarlo realmente.

Answer 1

Si realmente quieres $M_{\mathfrak{p}}=M/{\mathfrak{p}}M$ entonces no tienes suerte. Esto está tensado por $R/\mathfrak{p}$ que no es un functor exacto a la izquierda. Como contraejemplo, tomemos $R=\mathbb{Z}$ , $M=N=\mathbb{Z}$ , $\mathfrak{p}=2\mathbb{Z}$ y $f:n\mapsto2n$ .

Pero, ¿es más habitual que $M_\mathfrak{p}$ para denotar la localización de $M$ en $\mathfrak{p}$ (el conjunto de "fracciones" $m/a$ donde $m\in M$ y $a\in R-\mathfrak{p}$ bajo una equivalencia adecuada). Esta operación es exacta a la izquierda: preserva los núcleos como usted quiere. ¿Es esto realmente lo que quieres decir?