Asymptotics de q-catalán números

Question

q-catalán números se definen de forma recurrente como C₀=1, $C_{N+1}=\sum_{k=0}^N q^k C_k C_{N-k}$.

¿Qué se puede decir acerca de la asymptotics de C_n al 0<q<1?

P. S. En el caso de que p>1 es sabido que a medida que n tiende a infinito, $q^{-{n\choose 2}}C_n(q)$ tiende a la función de partición $\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-q^{-i}}$. Sin embargo, esto no ayuda en el caso 0<q<1.

Answer 1

No es difícil calcular valores numéricos. Si usted hace esto, en el régimen de $0 < q < 1$ se parece a $C_n$ crece de manera exponencial, yo. e. $C_n \sim \alpha_q \beta_q^n$ para algunas constantes $\alpha_q$ $\beta_q$ que dependen de q.

Por desgracia, yo no sé lo $\alpha_q$$\beta_q$. Por ejemplo, cuando p = 1/2 de la relación de $C_n/C_{n-1}$ se aproxima a una constante que es de aproximadamente 1.6022827223; yo reclamo que esto es $\beta_{1/2}$. A continuación,$C_{50}/\beta_{1/2}^{50} = 0.5757566503$, lo que yo reclamo es $\alpha_{1/2}$. Ninguna de estas constantes aparece en la inversa simbólico de la calculadora.

La generación de la función $C(q,z) = C_0 + C_1 z + C_2 z^2 + \ldots$, donde el $C_n$ $q$- catalán números, debe satisfacer algunos funcional de la ecuación y, a continuación, podría utilizar las técnicas de la singularidad de análisis (ver, por ejemplo, la Analítica de la Combinatoria por Flajolet y Sedgewick). Pero estoy teniendo problemas para encontrar el funcional de la ecuación.

Answer 2

De hecho, $C_n^{1/n}$ converge. Llame al límite de $\beta_q$ como Michael Lugo hizo. Uno puede mostrar que $\beta_q\ge 1+q$ por cada positivo $q$, $\beta_q\le 2(1+q)$ $\beta_q\le 1/(1-q)$ por cada $q$$(0,1)$, $\beta_q$ está relacionado con el positivo menor que cero de un determinado $q$-función hipergeométrica, y varias otras estimaciones. El $q$-catalán números están relacionados con algunas de las propiedades de los productos de correlación Wigner matrices igual que el ordinario catalán números de describir la (propiedades estadísticas de los) espectro de grandes (al azar) Wigner matrices. Esto se explica en este documento (advertencia: yo soy uno de los autores).

Answer 3

Re Leonid comentario en una respuesta anterior.

Si los coeficientes de $C_{n+1}/C_n$ convergen, su límite de $c(q)$ es tal que $C(q,q/c(q))=c(q)$. Equivalentemente, $1/c(q)$ es el radio de convergencia de la serie $z\mapsto C(q,z)$. O bien, escribiendo a $C(q,\cdot)$ como la relación de dos a $q$-funciones hipergeométricas, uno puede mostrar que $F(q,1/c(q))=0$, donde $$F(q,z)=\sum_{n\ge0}(-1)^cn^{n^2-n}z^n/(p)_n.$$ Esto implica que $c(q)$ es la suma de una serie en la $q$ con coeficientes enteros, cuyos signos parecen estar alternando comenzando con el coeficiente de $q$. Los primeros términos son $$c(q)=1+q+q^3-q^4+2t^5-3t^6+6q^7-12q^8+25q^9-52q^{10}+111q^{11}+\ldots$$ La función de $q\mapsto c(q)$ es no decreciente en $q\ge0$, obvio valores de $c(0)=1$$c(1)=4$, y como holomorphic función, $c(\cdot)$ podría tener un polo en el interior de la unidad de disco acerca de $q\approx-.4$. Pero aparte de eso...

Answer 4

Frohman y Bartoszynska hizo un montón de trabajo en la asymptotics de la cuántica $6j$-símbolos en los últimos 5 a 7 años. Creo que sus trabajos sobre estos temas se encuentran en el arxiv. Aquí es donde uno debe buscar en primer lugar.