¿Cómo saber rápidamente que esta matriz es diagonalizable (polinomio característico dado)?

Question

Tenemos la matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -3\\ 2 & 7 & -4\\ 3 & 9 & -5 \end{pmatrix}$

El polinomio característico es $-(\lambda-2)^{2} \cdot (\lambda-1)=0$

Ahora me gustaría saber una forma rápida de saber si esta matriz es diagonalizable. Para ser más preciso, quiero saber si esta matriz tiene tantos valores propios como su propio tamaño (es una $3 \times 3$ matriz por lo que necesitamos al menos $3$ valores propios).

Vemos que $\lambda_{1}=2$ y $\lambda_{2}=1$ son valores propios. Pero, ¿cómo puedo saber sin más cálculos largos que $\lambda_{1}=2$ es un valor propio doble? Sólo lo sé porque hice más cálculos (división larga de polinomios) pero ¿cómo puedo saberlo sin perder más tiempo?

Answer 1

Creo que hay una prueba sencilla que requiere realmente pocos cálculos adicionales. Si quieres comprobar si $\lambda$ es un doble valor propio de $A$ entonces basta con ver si $A-\lambda I$ tiene rango $n-2$ .

En su caso, si $A-2I$ tiene rango 1, y las matrices de rango 1 son realmente sencillas, ya que todas las columnas son múltiplos unas de otras.

$$ A - 2I=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3\\ 2 & 5 & -4\\ 3 & 9 & -7 \end{pmatrix} $$ En este caso, 2 no es un valor propio doble, ya que la primera y la segunda columna no son múltiplos entre sí, por lo que esta matriz tiene rango 2 o más.