El problema:
Se reparte una mano de 5 cartas de una baraja perfectamente barajada. ¿Cuál es la probabilidad de que cada de la mano tenga al menos dos cartas del mismo rango.
Respuesta:
Por rango, me refiero a una carta como $2$ o un rey. El conjunto de todas las manos de póker es ${52 \choose 5}$ . Sea $p$ sea la probabilidad que buscamos. Observo que hay $13$ rangos de tarjetas y para cada rango hay $4$ tarjetas. \begin{eqnarray*} p &=& \frac{ 13{ 4 \choose 2 }{ 50 \choose 3 } } { { 52 \choose 5 } } \\ { 4 \choose 2} &=& \frac{4(3)(2)}{2} = 12 \\ {50 \choose 3} &=& \frac{50(49)(48)}{3(2)} = 25(49)(16) \\ % {52 \choose 5} &=& \frac{52(51)(50)(49)(48)}{5(4)(3)(2)} = \frac{52(51)(10)(49)(48)}{4(3)(2)} \\ &=& \frac{52(51)(10)(49)(12)}{3(2)} = 52(51)(10)(49)(2) \\ p &=& \frac{ 13(12)(25)(49)(16) } { 52(51)(10)(49)(2) } = \frac{ 13(12)(25)(49)(8) } { 52(51)(10)(49) } \\ &=& \frac{ 13(6)(25)(8) } { 52(51)(5) } = \frac{ 13(3)(25)(8) } { 26(51)(5) } \\ &=& \frac{ 13(3)(5)(8) } { 26(51) } \\ &=& \frac{ 1560 } {1586 } \\ \end{eqnarray*} Estoy bastante seguro de que mi respuesta es incorrecta, pero no entiendo en qué me he equivocado. Espero que alguien pueda decirme en qué me he equivocado.
Gracias,
Bob
Respuestas
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Un error es que usted dijo $\dbinom 4 2 = 12,$ mientras que en realidad $\dbinom 4 2 =6.$
Un error sublter es que como un intento de contar el número de formas de obtener al menos un par, $13\dbinom 3 2\dbinom{50} 3$ es un recuento excesivo.
En primer lugar, si eliges las cartas restantes de $50$ que no están incluidos en el par, puede obtener dos del mismo rango del que se tomó el par, por lo que no tiene un par, sino tres o cuatro de ese mismo rango.
En segundo lugar, sus otras tres cartas pueden contener una pareja de diferente rango (de ahí que haya dicho "al menos una", pero entonces esa mano se cuenta dos veces.
Por ejemplo, supongamos que elige un rango de $13$ y es $6.$ A continuación, elija dos de los cuatro $6$ s. Entre las manos que contienen esos dos $6$ s es otro con dos $7$ s. Pero cuando se hace una lista de todas las manos que contienen un par de $7$ s, esa misma mano se vuelve a contar.
La respuesta de Eric Fisher muestra que esto se puede hacer encontrando la probabilidad de obtener ninguna pareja y luego restando eso de $1.$
Como señaló Eric Fisher en su respuesta, la probabilidad de obtener al menos un par puede hallarse restando la probabilidad de no obtener ningún par de $1$ . Si no se obtienen parejas, debemos seleccionar cinco rangos diferentes. Hay $\binom{13}{5}$ formas de seleccionar los cinco rangos. Para cada rango, debemos seleccionar uno de los cuatro palos. Por lo tanto, el número de manos que no contienen una pareja es $$\binom{13}{5}4^5$$ por lo que la probabilidad de no obtener un par es $$\frac{\dbinom{13}{5}4^5}{\dbinom{52}{5}}$$ Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos un par es $$1 - \frac{\dbinom{13}{5}4^5}{\dbinom{52}{5}}$$
