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Función determinante

Conozco la definición de función determinante que es un mapeo $D: \mathbb{K}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{K}$ tal que (i) $D$ es n-lineal (ii) $D(A) = 0$ si dos filas son iguales (iii) $D(I) = 1$ para la matriz identidad I. donde $\mathbb{K}$ es un anillo conmutativo y $\mathbb{K}^{n \times n}$ es el conjunto de todos los $n \times n$ matrices.

¿Puede alguien decirme, utilizando la definición anterior de función determinante, cómo demostrar $det(AB) = det(A) det(B)$ y $det(A) = det(A^T)$ ?

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AlanSE Puntos 183

Este es un boceto: arreglar $A$ y definir $D(B) = detAB$ . Es fácil demostrar que $D$ preserva la suma y la multiplicación escalar en las columnas de $B$ y que D se alterna en las columnas de $B$ . Por lo tanto, por la unicidad de la función alternante y multilineal, debemos tener $D(B)=D(I)\ detB=\ detAI\ detB=\ detA\ detB$ .

Ahora utiliza el $QR$ factorización de $A^T$ y lo que acabamos de probar, para demostrar la segunda afirmación.

Otra forma sería utilizar su definición para demostrar que el $det$ función $must$ tienen la forma

$\displaystyle \sum_\lambda \operatorname{sgn} \left({\lambda}\right) b_{1 \lambda \left({1}\right)} b_{2 \lambda \left({2}\right)} \cdots b_{n \lambda \left({n}\right)}$ donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones $\lambda:\left \{ 1,\cdots, n \right \}\to \left \{ 1,\cdots, n \right \}$

y a partir de aquí utiliza los argumentos a los que probablemente estés acostumbrado.

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