Usted está en el camino correcto.
Una gran manera de pensar acerca de la Hamiltoniana es que es lo que "hace que la traducción en el tiempo".
Esto sólo jerga por el hecho de que usted ya se ha señalado, que el Hamiltoniano informa de cómo el sistema se mueve hacia adelante en el tiempo, como encapsulado por la ecuación de Schrödinger
$$i\hbar d_t |\Psi\rangle = H |\Psi \rangle . $$
Mi conjetura es que esto tiene algo que ver con el Heisenberg de la relación entre la energía y el tiempo:
$$ΔEΔt≥ℏ2$$
por ello, la relación parece ser similar a la que existe entre la posición y el impulso, y creo que el conmutador de la posición y el momentum es iℏ que los cultivos en el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger.
De hecho.
Una buena forma de entender el vínculo es darse cuenta de que, de manera similar a cómo el Hamiltoniano genera traducciones en el tiempo, el impulso operador genera traducciones en posición!
Vamos a expresar esta matemáticamente.
Denotamos como $|x\rangle$ un estado cuántico que es un eigenstate de la posición del operador, es decir,$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$.
Deje $\Delta x$ ser cierta cantidad de la posición de desplazamiento (no un operador).
Resulta que
$$e^{-i\hat{p} \Delta x/\hbar} |x\rangle = |x+\Delta x\rangle. \qquad (1)$$
En inglés, este dice que el operador $\exp[-i\hat{p}\Delta x / \hbar]$ se traduce el estado de $|x\rangle$ por un importe $\Delta x$.
Esto es completamente análogo al hecho de que el operador $\exp[ -i H t/\hbar]$ se traduce en un estado de avance en el tiempo por un importe $t$.
De hecho, si tomamos la derivada de Eq. (1) con respecto a $\Delta x$, obtenemos
$$
\begin{align}
(-i\hat{p}/\hbar)e^{-i \hat{p}\Delta x / \hbar}|x\rangle
&= d_{\Delta x}|x+\Delta x \rangle \\
-i\hat{p}/\hbar |x + \Delta x\rangle &= d_{\Delta x}|x + \Delta x\rangle \\
\text{or} \qquad
\hat{p}|\Psi\rangle &= i\hbar d_{\Delta x} |\Psi\rangle \qquad (2)
\end{align}
$$
Vamos a comparar Eq. (2) con la ecuación de Schrödinger:
$$
\begin{align}
\text{Schrodinger}\qquad i\hbar d_t |\Psi\rangle &= \hat{H}|\Psi\rangle \\
\text{Eq. (2)}\qquad i\hbar d_{\Delta x}|\Psi\rangle &= \hat{p}|\Psi\rangle
\end{align}
$$
Como se puede ver, si el impulso operador es el pensamiento de como hacer las traducciones en posición, el Hamiltoniano es totalmente similar a pesar de como hacer que se traduce en el tiempo.
En un completamente manera similar, la posición de operador genera traducciones en el impulso.
La verdad declaración general aquí es que si usted tiene dos operadores de $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ con un colector $[\hat{\alpha},\hat{\beta}]=i\gamma$ donde $\gamma$ es cualquier número real ($\gamma=\hbar$ para el caso de $\hat{x}$$\hat{p}$), $\alpha$ $\beta$ generar traducciones de uno a otro [3].
Tenga en cuenta que tener un $\hbar$ se muestran en la ecuación de Schrödinger es una convención.
Se podría trabajar con el operador $H/\hbar$, que tiene unidades de frecuencia, lugar y nunca ve $\hbar$'s en cualquier lugar en sus ecuaciones de movimiento.
Me gusta mucho más que esto, en realidad.
Esto es lo que algunas personas erróneamente llamada "configuración de $\hbar$ a uno".
La analogía entre la posición y el momentum y la energía/tiempo se rompe en algún punto, sin embargo, porque no hay un operador de tiempo.
Para obtener más información sobre la traducción de los operadores, echa un vistazo a la wikipedia artículo sobre la traducción de los operadores para un matemáticamente descripción genérica, y también esta Física SE post.
[3]: en realidad Este no es aún muy especial a la mecánica cuántica.
Si el estudio de la geometría diferencial de encontrar relaciones como esta que mantener siempre dos cosas tienen una relación que poco similar a un colector.
