¿No abusamos de la notación cuando decimos Let $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ un espacio de probabilidad y $X$ un r.v.

Question

A menudo veo en los libros y el ejercicio: Deja que $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ un espacio de probabilidad. Sea $X$ y $Y$ variable aleatoria independiente s.t. $X$ es normal y $Y$ se distribuye exponencialmente.

Pregunta ¿No abusamos de la notación cuando decimos eso? A priori, no está claro que haya dos r.v. $X\sim \mathcal N(0,1)$ y $Y\sim \exp(1)$ que son independientes.

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Sé de todos modos que podemos construir un espacio de probabilidad $(\Omega ',\mathcal F',\mathbb P')$ s.t. hay dos r.v. independientes $X$ y $Y$ s.t. $X$ es normal y $Y$ es exponencial. Pero, rigurosamente hablando, fijar un espacio de probabilidad y luego llevar a v.r. independientes no es correcto, ¿verdad?

Answer 1

Dada cualquier familia de funciones de distribución $(F_i)$ existe un espacio de probabilidad en el que hay variables aleatorias independientes $(X_i)$ tal que $X_i$ tiene distribución $F_i$ para cada $i$ . No veo ningún abuso de la notación aquí. De hecho es muy importante que siempre que estudiemos variables aleatorias independientes asumamos que están definidas en el mismo espacio de probabilidad.

Answer 2

Hay espacios de este tipo; por ejemplo $\Omega=\{0,1\}$ no puede "soportar" ninguna variable aleatoria continua (por no hablar de dos independientes). Dicho esto, yo no diría que estamos abusando de la notación más de lo que lo hacemos (y no lo hacemos) cuando decimos:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial y que $W$ sea un subespacio vectorial tal que $\dim W\ge 2$ ...

Es sólo un teorema con dos/tres hipótesis, que resultará ser vacuamente cierto si una de ellas no se cumple.

Answer 3

¡No! Aquí no se abusa de la notación. El único punto implícito es que $\Omega$ tiene que ser lo suficientemente grande como para dar cabida a dos variables aleatorias independientes, una suposición que no se ha indicado al principio. Lo que realmente sería abusar de la notación es que empecemos dejando que $X,Y$ sean variables aleatorias no necesariamente en el mismo espacio de probabilidad y volver a construir un espacio de probabilidad en el que tenemos copias independientes que se sigue denotando $X,Y$ .

Answer 4

Para mí, no hay abuso de noción. Por ejemplo, se puede decir

$(P1)$ Dejemos que $A\subset \mathbb N$ . Dejemos que $n\in A$ s.t. $2\mid n$ .

¡Esto es perfectamente correcto! De hecho, tal $n$ puede no existir, y por tanto, no hay razón para considerarlo. Pero en la medida en que no afirme que tal $n$ existe, su propuesta es completamente correcta. Sin embargo, esto no es correcto :

$(P2)$ Dejemos que $A\subset \mathbb N$ . Existen $n\in A$ s.t. $2\mid n$ .

por lo que no supuso que $A\cap 2\mathbb N\neq \emptyset$ .