Si $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definirse como $f(x,y) = e^{x+y}, e^{x-y}$ ¿Cuál es el área de la imagen de $\{0<x,y<1\}$ ?

Question

Si $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definirse como $f(x,y) = e^{x+y}, e^{x-y}$ ¿Cuál es el área de la imagen de $\{0<x,y<1\}$ ?

Mi enfoque: Trato de usar esta composición, $(x,y) \mapsto (x+y,x-y) \mapsto (e^{x+y},e^{x-y})$

Para $(x,y) \mapsto (x+y,x-y)$ , encuentro que el jacobiano (del cambio de variable es 2). Esto significa que $\int \int dx dy = 2\int d(x+y) d(x-y)$

Ahora uso esta composición $(s,t) \mapsto (e^s,e^t)$ donde $s = x + y, t = x - y$ .

Ahora afirmo que la imagen es un cuadrado (ya que no hay mezcla de variables). Así que el área es producto del rango de $(e^{s_2} - e^{s_1}).(e^{t_2} - e^{t_1})$

Así que la respuesta final es $(e^{2} - 1).(e^{1}- e^{-1})$ Pero mis notas sugieren que la respuesta es $(e^{2} - 1)$ . Así que puede corregir mi error/argumento.

Answer 1

El jacobiano del mapa $g(x,y)= (e^{x+y},e^{x-y})$ es $-2e^{2x}$ como se puede comprobar fácilmente. Por lo tanto, si $S$ denota su cuadrado, entonces según la fórmula de cambio de variable: $$\int\int_{gS}1\,dx\,dy=\int\int_{S}1(g(x,y))\,|-2e^{2x}|\,dx\,dy=\int_0^1\int_0^12e^{2x}\,dx\,dy=e^2-1,$$ como en sus notas.