Dejemos que $S$ sea un espacio métrico con be Borel $\sigma$ -Álgebra $\Sigma$ . Dejemos que $\boldsymbol{P}(S)$ sea el conjunto de medidas de probabilidad sobre $(S,\Sigma)$ . Según wikipedia La topología débil es generada por la siguiente base de conjuntos abiertos:
$$\left\{ U_{\phi, x, \delta} \,\left|\, \begin{array}{c} \phi \colon S \to \mathbb{R} \text{ is bounded and continuous,} \\ x \in \mathbb{R} \text{ and } \delta > 0 \end{array} \right. \right\}$$
donde
$$U_{\phi, x, \delta} := \left\{ \mu \in \boldsymbol{P}(S) \,:\, \left| \int_{S} \phi \, \mathrm{d} \mu - x \right| < \delta \right\}."$$
Quiero verificar que esto es de hecho una base. Es fácil ver que cualquier $\nu\in\boldsymbol{P}(S)$ está contenida en algún elemento base (para cualquier $\delta$ y $\phi$ , toma $x=\int \phi d\nu$ ). La siguiente propiedad es que
- si $\nu$ pertenece a la intersección de dos elementos de base $B_{1}$ y $B_{2}$ entonces hay un elemento base $B_{3}\ni\nu$ tal que $B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$ .
En otras palabras, dado que
(1) $\displaystyle\left| \int_{S} \phi_1 \, \mathrm{d} \nu - x_1 \right| < \delta_1$ y
(2) $\displaystyle\left| \int_{S} \phi_2 \, \mathrm{d} \nu - x_2 \right| < \delta_2$ ,
Necesito encontrar $\delta^\ast, x^\ast\in\mathbb{R}$ y una función continua, acotada y de valor real $\phi^\ast$ tal que
$\displaystyle\left| \int_{S} \phi^\ast \, \mathrm{d} \nu - x^\ast \right| < \delta^\ast$ implica (1) y (2).
Agradecería cualquier sugerencia sobre cómo proceder. Gracias.
