Como introducción a la integración de Lebesgue, nuestro profesor nos dio algunos problemas de integración de Riemann. Uno de estos problemas es la siguiente función:
$$f_{n}(x) = n^2 x e^{-nx}.$$
Dijo que el problema de esta función es que:
$\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = 0$ para $x \in [0,1]$ Y así la integración de $0$ a $1$ también es $0.$ Pero $\int_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 1.$
Mis preguntas son:
1- ¿Se pueden intercambiar siempre el límite y el signo de la integral en el caso de la integración de Riemann? Creo que no, creo que esto sólo es cierto en el caso de funciones uniformemente continuas. ¿Estoy en lo cierto?
2- ¿Cuál es la razón para tomar $x \in [0,1],$ ¿es por razones de integración o hay alguna razón en relación con el proceso de toma del límite?
3- ¿Por qué no nos integramos sobre $n$ y no $x$ ?
4- ¿Cómo estamos comparando la integración sobre $x$ a llevar el límite por encima de $n$ ? ¿No son dos cosas muy diferentes?
¿Podría alguien ayudarme a responder a estas preguntas que irritan mi mente, por favor?
EDITAR:
Además, he calculado $\int_{0}^{1} f_{n}(x)dx $ pero no fue 1 (tengo $\frac{-n}{e^n} - \frac{1}{e^n} + 1$ ). ¿Estoy en lo cierto? es 1 después de tomar el límite como $n \to \infty.$