eπi+1=0
He estado buscando una interpretación convincente de esto. Entiendo cómo se produce, pero ¿qué es lo que nos está diciendo?
Lo mejor que se me ocurre es que subraya que las distintas definiciones que los matemáticos han dado de operaciones no intuitivas (exponenciación compleja, concepto de radianes, etc.) han sido especialmente inspiradas. ¿Es eso todo lo que hay detrás de la astucia de la ecuación de los Cinco Famosos?
¿Algún consejo?
11 votos
exp:lie(S1)→S1↪C es un mapa bastante natural. De todos modos, creo que esto es off-topic. Votación para cerrar.
27 votos
Considero esta identidad como la definición de pi.
26 votos
¿Se cierra la votación? Eso es increíble...
6 votos
@Qiaochu Yuan: Me he reído a carcajadas cuando he visto tu comentario, y luego me he pasado los cinco minutos siguientes intentando averiguar si hablabas en serio. Y fracasé.
5 votos
JHS: Las FAQ dicen que "el objetivo principal de MathOverflow es que los usuarios hagan y respondan preguntas matemáticas de nivel de investigación, el tipo de preguntas que te encuentras cuando escribes o lees artículos o libros de nivel de postgrado".
12 votos
Por cierto, ¿de dónde viene el término "cinco famosos"? Los matemáticos no lo llaman así. ¿Viene de alguna popularización?
4 votos
Creo que probablemente no sea muy buena idea considerar simplemente la fórmula como la definición de π y considerarlo trivial. Porque entonces uno todavía tiene que explicar por qué este π es el mismo π en la definición habitual de la escuela primaria utilizando la circunstancia / área de un círculo.
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¿No debería ser esta pregunta CW?
13 votos
Obviamente, esta fórmula no puede servir como definición de π porque vale para infinitos valores distintos en lugar de π .
6 votos
@Vectornaut En realidad, así es precisamente como π se define en el libro Numbers (Ebbinghaus et al.), o más bien cómo 2π se define: como el generador positivo del núcleo del homomorfismo de grupo de Lie R→S1:t↦exp(it) . Es una forma perfectamente respetable de definirlo.
4 votos
@BoPeng Pues no es tan bizarro, y de hecho así proceden muchos libros de texto (europeos). Se introduce cos y sin a partir de la exponencial compleja, y π como el doble del primer cero de cos (que es esencialmente equivalente a la definición propuesta por QiaochuYuan). Es cierto que aún hay que aportar la interpretación geométrica, pero esta definición de π es obviamente mucho más cómodo cuando se trata de cálculo.
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Voto por cerrar esta pregunta como off-topic porque aunque tuvo su razón de ser en su día, a estas alturas ya ha seguido su curso
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Constante de Euler e está conectada a la hipérbola y=1/x mediante la expresión ∫e11x dx=1. Cuando se gira por 45∘ y escalado por un factor de √2, se convierte en x2−y2=1. La ecuación del círculo unitario es x2+y2=1. Sustituyendo y→iy en la primera, obtenemos la segunda, y viceversa. Así que no sería de extrañar que un día descubriéramos una identidad matemática que relacionara las tres famosas constantes, e , i y π.