Interpretación de la ecuación de los Cinco Famosos

Question

$$e^{\pi i} + 1 = 0$$

He estado buscando una interpretación convincente de esto. Entiendo cómo se produce, pero ¿qué es lo que nos está diciendo?

Lo mejor que se me ocurre es que subraya que las distintas definiciones que los matemáticos han dado de operaciones no intuitivas (exponenciación compleja, concepto de radianes, etc.) han sido especialmente inspiradas. ¿Es eso todo lo que hay detrás de la astucia de la ecuación de los Cinco Famosos?

¿Algún consejo?

Answer 1

$$e^{i\pi}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1 + \frac{iπ}{N}\right)^N$$

Answer 2

Me gustaría añadir algo a la respuesta visual de arriba (o de abajo, o donde acabe). Hasta pasados los 40 no me di cuenta de que había una forma intuitiva de entender que $e^{i\pi}=-1$ a diferencia de la derivación de la serie de potencias, que parece demasiado formal. (Lo que voy a decir entra en la categoría de cosas que se me ocurrieron por casualidad, pero es tan natural que obviamente mucha otra gente habrá tenido el mismo pensamiento y no deseo en absoluto hacer una ridícula reivindicación de prioridad. No he leído el libro de Needham, pero me atrevo a decir que tiene el mismo argumento).

¿Por qué el límite de $(1+i\pi/N)^N$ es igual a -1? Para responder a esto, pensemos en qué significa multiplicar por $1+i\pi/N$ hace. Bien, $1+i\pi/N$ tiene un módulo muy cercano a 1 (es decir, que tiene un módulo $1+O(N^{-2})$ ), y argumento muy cercano a $\pi/N$ . Por lo tanto, la multiplicación por $1+i\pi/N$ es aproximadamente la rotación por $\pi/N$ . Así que si lo haces N veces, entonces el resultado es aproximadamente la rotación por $\pi$ que es la multiplicación por -1. Las aproximaciones son lo suficientemente buenas como para que uno pueda hacer este argumento riguroso con bastante facilidad.

Answer 3

Las respuestas hasta ahora dan interpretaciones de la exponencial como límite de aproximaciones discretas. Una interpretación alternativa es que cualquier mapa continuo que lleva la suma a la multiplicación en la recta compleja y lleva los reales a los reales tiene un núcleo puramente imaginario isomorfo a los enteros. La constante $e$ surge de una normalización para la que las trayectorias de velocidad unitaria en el eje imaginario se toman como trayectorias de velocidad unitaria en el círculo unitario, y $\pi$ aparece como una longitud de ruta. Una forma de enfatizar la relación aditivo-multiplicativo es expandir la fórmula como: $e^{\pi i-0i} = -1/1$ .

He aquí un tratamiento más formal: Ambos $(\mathbb{C}^\times, \times)$ y $(\mathbb{C}, +)$ son grupos analíticos unidimensionales, y este último es simplemente conexo, por lo que existe un homomorfismo de cobertura universal $\exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}^\times$ del grupo aditivo al grupo multiplicativo. El homomorfismo es único una vez que elegimos una normalización, por ejemplo, exigiendo que sea analítico y satisfaga la ecuación diferencial $\partial_z \exp = \exp$ . La ecuación diferencial se puede relacionar con el homomorfismo, después de elegir las coordenadas, considerando las respectivas leyes formales de grupo o simplemente razonar heurísticamente con infinitesimales.

Reclamación 1: La función $\exp$ lleva los números puramente imaginarios a elementos de norma unitaria.

Prueba: La función $\exp$ lleva los inversos aditivos a los recíprocos (porque es un homomorfismo), y los conjugados complejos a los conjugados complejos (porque está definido sobre los reales). Al componer, encontramos que la reflexión en el eje imaginario se lleva a la inversión del círculo unitario, y los puntos fijos se llevan a los puntos fijos.

Observaciones: Nótese que la única parte de la normalización que utilizamos aquí fue el hecho de que $\partial_z \exp$ es un múltiplo real de $\exp$ . La parte "definida sobre los reales" puede resultar insatisfactoria para algunos, pero el comportamiento de conjugación puede verificarse directamente expandiendo como una serie de potencias que converge en todas partes y comprobando que los coeficientes son reales. También se puede demostrar la afirmación por métodos más directos, como aplicar la ecuación diferencial anterior para obtener la identidad $\frac{\partial}{\partial y} | \exp(iy) |^2 = 0$ .

Reclamación 2: $\exp(\pi i) = -1$ .

Prueba: Combinando la afirmación anterior relativa a las normas unitarias con la ecuación diferencial $\partial_z \exp = \exp$ concluimos que $\exp$ lleva cualquier trayectoria de velocidad unitaria en el eje imaginario a una trayectoria de velocidad unitaria en el círculo unitario. Tenemos $\exp(0) = 1$ por la suposición de homomorfismo, y la longitud de un camino mínimo desde $1$ a $-1$ en el círculo unitario es $\pi$ .

Observaciones: Dependiendo de cómo $z \mapsto e^z$ es posible que aún haya que comprobar que coincide con $\exp$ pero no es para tanto. He intentado evitar en lo posible elegir raíces cuadradas de menos uno, pero el enunciado de la identidad hace un poco difícil mantener esa disciplina.

Answer 4

Sólo quería incluir esta excelente ilustración de la fórmula de Euler
(realmente merece ser mostrado aquí por derecho propio y no sólo como un enlace en uno de los comentarios):

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_formula

Answer 5

Consideremos el mapa exponencial para el grupo de Lie $U(1)$ .

La fórmula $e^{\pi i}$ significa: a partir del elemento de identidad $1$ Siga viajando "en dirección a $i$ " (Que al principio es "ir hacia arriba", porque el eje imaginario, por supuesto, va hacia arriba. Pero esta dirección "cambia" en el $\mathbb{R}^2$ -¡planea mientras te mueves! Así que al final te estarás moviendo entre la circunstancia del círculo unitario), y caminas una distancia de $\pi$ .

¿Dónde acabas? Acabas recorriendo medio círculo (distancia = $\pi$ ) y alcance $-1$ . Por lo tanto $e^{\pi i} = -1$ .

BTW, creo que no es muy buena idea considerar simplemente la fórmula como la definición de $\pi$ y considerarlo trivial. Porque entonces uno tiene que explicar por qué este $\pi$ es el mismo $\pi$ en la definición habitual utilizando la circunstancia / área de un círculo.

Así pues, la verdadera cuestión no es $\pi$ sino sobre por qué algo aparentemente "sólo relacionado con un círculo" va a tener algo que ver con una expresión algebraica en la que intervienen $e$ y $i$ .