En las diferentes definiciones del barrio.

Question

Voy a través de los conceptos básicos de la topología, principalmente a la actualización de los mismos. Había tomado un curso de hace algunos años, pero nunca se utiliza la topología activa. Así que me estoy leyendo Munkres de la Topología. Me he dado cuenta de que él define la noción de un barrio, de una forma diferente a lo que yo recuerdo haber visto antes: él define una vecindad $\mathcal{N}$ de un punto de $x$ a de un espacio topológico $X$ $\bf{open}$ con $x$, mientras que yo recuerde que los barrios son colocar en otras partes definidas como conjuntos de $\bf{containing}$ un conjunto abierto que contiene a $x$.

Mi pregunta es, ¿cuánto cuesta una pérdida (o ganancia) de uso de Munkres la definición sobre el otro? Hay cambios significativos en la teoría, que debo considerar antes de continuar la lectura de este texto? Gracias.

Answer 1

Vamos a llamar a las dos definiciones de "Munkres barrio" y "más amplio vecindario".

Deje $\tau$ ser una topología en $X$$x\in X$. Definir una nueva topología en $X$ $$\tau_x=\left\{V\subseteq X\mid x\notin V \lor \left(\exists U\in\tau:\, x\in U\subseteq V\right)\right\}$ $ Esto es fácilmente demostrado ser una topología.

Así que el Munkres barrio de $x$ $(X,\tau_x)$ coincide con la definición más amplia del barrio de $x$$(X,\tau)$.

$\tau_x$ es una versión localizada de la topología $\tau$$x$, y tenemos que $\tau = \bigcap_{x\in X} \tau_x$. Esto significa $f:(X,\tau)\to Y$ es continua si y sólo si para todos $x\in X$, $f:(X,\tau_x)\to Y$ es continua.

La topología $\tau_x$ le permite definir la "continuidad en $x$." Es decir, en el punto-establecer la topología, sólo podemos definir una función continua, no "continua en un punto." En la métrica de los espacios, sin embargo, podemos definir la continuidad en un punto de $x$, y esto coincide con la definición de $f:(X,\tau_x)\to Y$. Por lo que si utilizamos $(X,\tau_x)\to Y$ continua para definir "la continuidad en un punto," podemos ver que si $f$ es continua en cada punto, es continua.

Sospecho Munkres' definición es la más común en las obras modernas. Tal vez a principios de la topología de días, las personas se preocupan acerca de la generalización de la idea de la continuidad en los puntos individuales. El por encima de la construcción muestra que "la continuidad en un punto" es, malo, simplemente un caso especial de la más global de la noción de continuidad. En lugar de localización de la definición de la "continuidad", nos encargamos de localizar la topología. Munkres definición sigue siendo compatible con la definición más amplia moviendo a esta localizada topología $\tau_x$.

Nota, también, que usted puede obtener una doble noción, $$\tau^x=\{U\in \tau\mid x\in U\lor U=\emptyset\}$$

A continuación,$\tau = \bigcup_{x\in X} \tau^x$. (Generalmente, la unión de las topologías no es una topología, pero en este caso, la unión se puede observar la topología original. Más en general, tener la precaución de tomar las uniones de topologías, sin embargo.)

$\tau^x$ es la topología que contiene el Munkres barrios de $x$ (y el conjunto vacío) y está relacionado con la continuidad de las funciones a $x$, un concepto ajeno a personas familiarizadas con la métrica definición de continuidad. ¿Qué significaría para $f^{-1}(U)$ a ser abierto sólo para el abierto de los conjuntos que contengan $x$?

Sin embargo, $\tau^x$ tiene la misma propiedad: Si $f:Y\to X$ es continua en a $x$ por cada $x\in X$, $f$ es continua.

Si $(X,\tau)$ $(Y,\rho)$ son dos topologías, a continuación, $f:(X,\tau)\to (Y,\rho)$ es continua si, y sólo si, $f:(X,\tau_x)\to(Y,\rho^y)$ es continua para todos los $x\in X,y\in Y$.