¿Cuál es la explicación intuitiva de la fase Gouy?

Question

En los resonadores láser, los modos de orden superior (es decir, TEM01, etc.) acumulan fase más rápidamente que el modo fundamental TEM00. Esta fase adicional se denomina Fase Gouy . ¿Cuál es la explicación intuitiva de este efecto?

Gouy predijo y luego verificó experimentalmente la existencia de este efecto mucho antes de la existencia de los láseres. ¿Cómo lo hizo y qué le motivó a pensar en ello?

Answer 1

Varias fuentes enlazan con este documento: S. Feng, H. G. Winful, Origen físico del desfase de Gouy , Optics Letters, 26, 485 (2001), que trata de dar una explicación intuitiva de la fase Gouy. Brevemente, la cuestión es que las ondas convergentes que atraviesan el foco tienen una extensión espacial finita en el plano transversal. La relación de incertidumbre induce entonces una cierta distribución sobre los vectores de onda transversales y, en consecuencia, longitudinales. Se afirma que el efecto neto de esta distribución sobre los vectores de onda es un desplazamiento de fase global, que es mayor para los modos superiores. Sin embargo, para ver esto hay que mirar las fórmulas.

Answer 2

Durante varios años, he intentado periódicamente entender la fase de Gouy.

La fase Gouy no se produce sólo en los resonadores láser, sino que entra en juego siempre que se enfoca un haz de luz.

En cuanto a su segunda pregunta (¿cómo descubrió Gouy este loco fenómeno en 1890?), hay un buen análisis de su experimento en este " Progreso en Óptica ". Básicamente, Gouy tomó la misma fuente de luz (presumiblemente saliendo de un agujero de alfiler, para darle cierto grado de coherencia espacial) y la reflejó tanto con un espejo curvo como con un espejo plano. El haz enfocado se solapó con el haz no enfocado en una región cercana al foco y creó un patrón de difracción circular. A continuación, Gouy observó el patrón de difracción circular en varios lugares diferentes, tanto antes como después del foco. Vio que la región central del patrón de difracción cambiaba de claro a oscuro, lo que indicaba un cambio de fase en el haz de enfoque: el cambio de fase de Gouy.

Así, la observación del desfase de Gouy es un experimento relativamente fácil. Explicarlo no es tan sencillo.

En un artículo de 1980 titulado " Explicación intuitiva de la anomalía de fase de haces de luz enfocados ", R. Boyd explica el desfase de Gouy en términos de la diferencia de propagación del haz gaussiano y de una onda plana, muy similar al experimento de Gouy. Muestra que el desplazamiento de fase de Gouy puede derivarse observando la diferencia de longitud de trayectoria entre la trayectoria "verdadera" de la luz (a lo largo de la trayectoria BCD) y la trayectoria que se esperaría de la óptica geométrica (trayectoria BE).

La óptica de haz gaussiano incorpora fundamentalmente la idea de que, cuanto más enfocada esté la luz, mayor será la divergencia del haz. Dado que la divergencia no puede ser infinita, existe un tamaño mínimo de punto para una determinada longitud de onda de la luz. Este comportamiento de la luz es una consecuencia del principio de incertidumbre de Heisenberg. Así que, a mi entender, el desfase de Gouy se produce cuando comparamos el comportamiento "cuántico" de la luz con lo que esperaríamos de la óptica geométrica.

Para llevar esta explicación un paso más allá, podemos considerar los modos de orden superior. Estos modos no alcanzan un foco tan estrecho como el de un haz gaussiano simple. Ahora, la diferencia entre BCD y BE es aún mayor.

Answer 3

Una explicación ingenua dice que un rayo después de su punto focal está invertido, no sólo en el sentido de su distribución espacial, sino también en el sentido del vector del campo eléctrico (signo menos = sumar $\pi$ a la fase). Es perfectamente compatible con el hecho de que incluso los perfiles de los haces cambian la fase por $\pi$ e impar no lo hacen.

Sin embargo, estas explicaciones no dicen nada sobre el comportamiento de la fase cerca del punto focal.

Answer 4

Otras preguntas parecen tratar de responder a la cuestión más simple de por qué un modo gaussiano tiene una fase de Gouy (es decir, en comparación con las ondas planas), en lugar de la pregunta de por qué los modos de orden superior acumulan más rápidamente la fase de Gouy acumulación de fase Gouy (es decir, por qué la fase para el $n^{th}$ El modo de orden tiene un fase $\Delta\phi=n\psi(z)$ más alto que el $0^{th}$ orden de la fase Gouy de $\psi(z)$ ), que intentaré responder.

Para mí, la comprensión intuitiva pasa por entender qué queremos decir con "modos". Un modo es una configuración del campo que no cambia al propagación, o más bien sólo cambia trivialmente a través de, por ejemplo, una fase o un reescalado. Por lo tanto, al propagarse, un "modo" es un campo que se transforma como $$U(x) \to U(x')e^{-\phi}.$$

Los modos dependen en gran medida de la física de la propagación de las ondas. Lo primero que hay que tener en cuenta es que la propagación de $z=0$ al campo lejano $z\to\infty$ se da por un Transformación de Fourier . Por lo tanto, la propagación de $z=-\infty$ a $z=\infty$ viene dada por dos transformadas de Fourier. Sin embargo, dos transformadas de Fourier sólo invierten el campo, es decir, si $U(x)$ es el campo en algún punto transversal $x$ , entonces la transformación de Fourier dos veces sólo da $\mathcal F(\mathcal F(U(x))) = \mathcal P U(x)= U(-x)$ , donde $\mathcal F$ es el operador de Fourier y $\mathcal P$ es el operador de paridad. Una imagen de rayos de propagación de $z= -\infty\to\infty$ se muestra en la siguiente imagen. También se puede pensar en la imagen de que en el infinito, todas las fuentes parecen ondas esféricas.

Ahora aplicando el operador de paridad dos veces se obtiene el mismo modo $\mathcal P\mathcal P U(x) = \mathcal PU(-x) = U(x)$ . Sólo hay dos tipos de modos que obedecen a el operador de paridad, funciones pares e Impares es decir $$\mathcal PU_\text{even}(x) = U_\text{even}(x),$$ o $$\mathcal PU_\text{odd}(x) = -U_\text{odd}(x).$$ Esto equivale a decir que las únicas fases que puede acumular un modo son $$\mathcal P U_n(x) = e^{i\pi n}U(x),$$ donde $n$ es un número entero que representa los modos par o impar cuando $n$ también es un número par o impar.

Así que físicamente vemos que un "modo" $U(x)$ es una función par o impar que simplemente invierte $U(x)\to U(-x)$ al pasar de $z=-\infty\to\infty$ que podemos representar como una fase $e^{i\pi n}$ . El segundo elemento físico que añadimos es el hecho de que la propagación es continua. Por lo tanto, un "modo" adquiere la mitad de la fase de $z=-\infty\to 0$ y la mitad de la fase de $z=0\to\infty$ . Por lo tanto, todos los modos adquieren una diferencia de fase de $z=0\to\infty$ de $e^{i\pi n/2}$ para un número entero $n$ .

Matemáticamente, la transformada de Fourier $\mathcal F$ es simplemente la raíz cuadrada de el operador de paridad $\mathcal P$ (y la transformada de Fourier inversa puede ser como la raíz negativa). Si se intentara resolver matemáticamente para los modos propios de $\mathcal F$ se encontrarían modos con exactamente la $e^{i\pi n/2}$ valores propios de arriba. En realidad se puede llevar esto un paso más allá y considerar los Transformada de Fourier fraccionaria que no es más que el continuo versión de $\mathcal F$ donde $\pi/2$ se sustituye por un parámetro continuo $\alpha$ . Los modos gaussianos de propagación son también "modos" de este operador continuo (por la razón obvia de que la propagación es continua). Para la propagación paraxial propagación $\alpha = \text{arctan}(z/z_R)$ que da exactamente la fase Guoy en función de $z$ es decir $e^{i\alpha n} = \text{exp}[in\text{arctan}(z/z_R)]=\psi(z).$

Por lo tanto, la respuesta intuitiva para qué es la fase Guoy y por qué es diferente para los distintos modos es el hecho de que la propagación hace que los campos que los campos se volteen (a través del origen) y que los "modos" se definan en términos de campos en los que este geométrico puede ser representado por una fase, y las diferentes fases son las que son las que definen los diferentes modos.

Answer 5

El documento de Feng y Winful (citado anteriormente por Igor Ivanov) da una buena explicación.

Una onda plana está definida por un único vector de onda $\mathbf{k}$ para que sus frentes de onda estén igualmente espaciados. Las ondas planas que componen un haz monocromático finito -el espectro angular (EA) del haz- tienen todas diferentes $\bf{k}$ pero todos tienen la misma magnitud $k_0=\omega_0/c$ . Por lo tanto, cuanto más se aleje del eje el $\mathbf{k}$ de una onda plana en el AS, menor es su componente axial $k_z$ la contribución de la onda plana axial ( $\mathbf{k_0}=k_0\mathbf{\hat{z}}$ ) tiene el valor máximo $k_z=k_0$ . F&W encuentran un $k_z$ haciendo una media de todos los $\mathbf{k}$ en el AS; naturalmente, el resultado es menor que $k_0$ y la diferencia corresponde a la fase Gouy $\zeta$ . (Más adelante será útil observar que el promedio sobre $k_z$ se puede reformular como un promedio sobre $k_x$ y $k_y$ en su lugar, de nuevo porque todos los componentes de AS tienen la misma magnitud $k_0$ .)

Creo que es una explicación completa de por qué $\zeta$ ocurre, pero también podemos intentar obtener más detalles:

1. Un foco más cerrado significa una mayor divergencia del haz, por lo que las contribuciones de AS fuera del eje son mayores. $\zeta(z)$ se acumula más rápido para los haces fuertemente enfocados (por ejemplo, alcanza $\frac{\pi}{4}$ dentro de un rango de Rayleigh de la cintura de un haz gaussiano).

2. A pesar de (1), $\zeta(\infty)$ no depende del tamaño de la cintura, sólo de la $M^2$ o producto de la incertidumbre. No tengo una buena explicación intuitiva de esto.

3. Por último, para responder a la pregunta original: ¿por qué los modos de orden superior tienen una fase de Gouy mayor? La respuesta es simplemente que tienen mayores contribuciones fuera del eje en sus AS. Para ver esto, observe que el perfil de amplitud de un modo TEM adquiere más "características" al aumentar el orden del modo: $\text{TEM}_{mn}$ tiene $m$ $(n)$ nodos en el $x$ $(y)$ dirección. Las frecuencias espaciales necesarias para crear estas características corresponden a ondas planas fuera del eje en el AS. Por lo tanto, si tomamos un modo gaussiano y otro de orden superior, ambos con la misma cintura del haz, el modo de orden superior tiene un mayor contenido de ondas planas fuera del eje y, por lo tanto, adquirirá un mayor desplazamiento de fase tras una propagación finita.