La independencia de la intuición

Question

Mezcle dos de la feria de dados. Hay $36$ resultados en el espacio muestral $\Omega$, cada una con una probabilidad de $\frac{1}{36}$. Vamos a:

• $A$ ser el evento '$4$ en el primer morir'.
• $B$ ser el caso de 'la suma de los números es $7$'.
• $C$ ser el caso de 'la suma de los números es $8$'.

Aquí dice $A$ $B$ son independientes. No entiendo por qué este es el caso. ¿Qué es la intuición detrás de esto? Alguien puede ofrecer una explicación a mi que no implican el uso de la definición de $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$?

Mi entendimiento es de manera informal, un evento es independiente de si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la otra y viceversa. Así que si $A$ se produce, no que influyen en la probabilidad de $B$? Ya que si yo fuera a rodar una $4$ en el primer dado, el espacio muestral se reduce y por lo tanto la probabilidad de 'la suma de los números es $7$' será afectada?

También dice $A$ $C$ no son independientes y $B$ $C$ no son independientes. Por qué?

Creo que esto es porque estoy confuso con independencia de la probabilidad condicional?

Answer 1

¿Cómo cree '$4$ en el primer morir' afecta a la probabilidad de obtener un total de $7$? ¿Crees que la aumenta o disminuye? Vamos a hacer las matemáticas.

$6$ en el primer morir: necesitamos $1$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$5$ en el primer morir: necesitamos $2$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$4$ en el primer morir: necesitamos $3$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$3$ en el primer morir: necesitamos $4$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$2$ en el primer morir: necesitamos $5$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$1$ en el primer morir: necesitamos $6$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.

Así que la probabilidad de obtener un total de $7$ es el mismo independientemente de lo que sale en la primera morir. Sabiendo que el primer dado se acercó a $4$ no hace que las posibilidades de $7$ mejor o peor. Eventos $A$ $B$ e independiente.

Ahora lo que si queremos un total de $8$? Cómo es que diferentes?

$6$ en el primer morir: necesitamos $2$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$5$ en el primer morir: necesitamos $3$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$4$ en el primer morir: necesitamos $4$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$3$ en el primer morir: necesitamos $5$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$2$ en el primer morir: necesitamos $6$ en el segundo morir. Una oportunidad en $6$.
$1$ en el primer morir: necesitamos $7$ en el segundo morir. CERO POSIBILIDAD.

Lo '$1$ en el primer morir' reduce las posibilidades de total de $8$' (a cero); otra cosa aumenta las probabilidades de a $1/6$. En particular, los eventos de $A$ $C$ son dependientes. La incondicional (es decir, antes de saber el resultado de la primera morir) probabilidad de total de $8$' es el promedio de $\{1/6,\ 1/6,\ 1/6,\ 1/6,\ 1/6,\ 0\}$ $5/36.$

Mirándolo de otra forma, dado que el total es de $8$, sabemos que no podemos tener $1$ en el primer morir, por lo que la probabilidad condicional de a $A$ $C$ no $1/6$ pero $1/5$.

Answer 2

Ya que estamos utilizando la feria de dados, la atómica de los resultados tienen la misma probabilidad de medida.

$\begin{array}{l} A = \{(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4, 6)\} \\ B = \{(1,6), (2,5), (3,4), \color{blue}{(4,3)}, (5,2), (6,1)\}, & A\cap B=\{(4,3)\} \\ C = \{(2,6), (3,5), \color{blue}{(4,4)}, (5,3), (6,2)\}, & A\cap C = \{(4,4)\} \end{array} \\[2ex]\;\\ \begin{array}{l} \mathsf P( A) = 1/6, &\mathsf P(B) = 1/6, &\mathsf P(A\cap B)=1/36, &\mathsf P(A\mid B) = 1/6 , &\mathsf P(B\mid A) = 1/6 \\ &\mathsf P(C) = 5/36, &\mathsf P(A\cap C)=1/36 , &\mathsf P(A\mid C) = 1/5, &\mathsf P(C\mid A) = 1/6 \end{array} $

La independencia de $A$ $B$ es debido a la proporción de los resultados para $A$ que se producen en el espacio de $B$ es la misma que la proporción de los resultados para $A$ dentro del total de espacio. Asimismo, la proporción de los resultados para $B$ que se producen en el espacio de $A$ es la misma que la proporción de los resultados para $B$ dentro del total de espacio.

Sin embargo, esto no es así para la proporción de los resultados para $A$ que ocurren dentro del espacio de $C$.

NB: si los dados nos sesgada tendríamos que considerar el peso de cada atómica resultado, en vez de simplemente contar.

Answer 3

$A$ efectos de la probabilidad de $B$... y la deja intacta. Conseguir a 4 en la primera morir excluye a muchos casos de $A$$A^c$, pero lo hace de manera uniforme, por lo $P(B|A)=1/6=6/36=P(B)$.