¿Por qué los lagrangianos de orden infinito se llaman "no locales"?

Question

¿Y en qué sentido son "no locales"?

Answer 1

Cuanto mayor sea el número de derivados, más datos iniciales tendrá que aportar. Si tienes algún Lagrangiano que contiene un número infinito de derivadas (o derivadas que aparecen de forma no polinómica, como una sobre derivada) entonces tienes que proporcionar una cantidad infinita de datos iniciales que equivale a información no local, en el sentido que se explica a continuación.

Si piensas en términos de expansiones de Taylor en torno a tu valor inicial, entonces tienes que proporcionar la función completa (y por tanto la información no local) si tienes un número infinito de derivadas. Esto debe contrastarse con los casos en los que sólo se proporciona el campo y su primera derivada como valores iniciales (y, por tanto, información más bien local).

Personalmente, no llamaría "no local" a cualquier lagrangiano de derivadas superiores, sino sólo a aquellas teorías en las que el número de derivadas es formalmente infinito en el lagrangiano.

En cualquier esquema de discretización se ve literalmente la no-localidad inducida por las derivadas más altas: para definir la primera derivada se necesita conocer la función en dos puntos adyacentes de la red, para definir la segunda derivada en tres y para definir la n-ésima derivada en n+1 puntos de la red. Por lo tanto, cuantas más derivadas, mayor es la no-localidad. Si tienes un número infinito de derivadas necesitas conocer la función en un conjunto infinito de puntos de la red.

Answer 2

Evidentemente, una interacción que implique $\phi(x+h)$ merecía ser llamado no local. Pero como $\phi(x+h)=\sum_{k=0}^\infty \phi^{(k)}(x) h^k/k!$ Cualquier interacción no local puede expresarse como una serie de potencias con un número arbitrario de derivadas. Por lo tanto, una acción (o lagrangiano) se llama no local si implica infinitas derivadas.

Si sólo hay un número finito de derivadas, no son no locales. De hecho, introduciendo campos adicionales para las derivadas junto con los cuadrados de las diferencias entre los nuevos campos y su definición, uno puede reescribirlos en términos de una nueva acción/lagrangiana que conduce a idénticas ecuaciones de movimiento. (Desafortunadamente, esto no ayuda con la cuantificación, ya que las correspondientes transformaciones de Legendre a la forma hamiltoniana es singular).

Answer 3

La desilusión con los sistemas descritos por los lagrangianos de orden superior se remonta a un Documento de 1950 de Pais y Uhlenbeck , en el que demostraron que tales sistemas eran propensos a las patologías, incluyendo estados con energía negativa y estados con norma negativa. Hay una discusión más reciente sobre esto en arXiv:hep-th/0408104 .

Answer 4

Es la primera vez que escribo una respuesta aquí. Dime si está mal o si hice algo mal.

Creo que puedo aportar algo aquí:

Mi imagen mental es la siguiente:

Una derivada simple es $$ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\,, $$ para la segunda derivada $$ f''(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+2h) -f(x+h) + f(x)}{h^2}\,,$$ y así sucesivamente....

Ahora bien, si tienes una función como $e^{\Theta\partial_x^2}$ actuando sobre f(x) tiene una cantidad infinita de derivadas, esto significa que saldrá a $f(x + \infty h)$ (no me hagas daño, esto es sólo para la imagen mental) y el límite $\lim_{h\to 0} f(x+\infty h)$ da una idea de que el valor de $$e^{\Theta \partial_x^2}f(x)$$ depende de algo más que el punto x (o una vecindad del mismo), pero quizás todo el $\mathbb{R}$ . Creo que esto podría hacerse con más rigor.

Cada término de la expansión de Taylor $$ e^{\Theta\partial_x^2} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\Theta\partial_x^2)^i}{i!}$$ es local, ya que sólo contiene una cantidad finita de derivadas. El "último" término con infinitas derivadas es no local. Con esto quiero decir que truncar la expansión de un término no local puede hacer desaparecer los efectos no locales.

La otra forma de ver la no localidad es mediante la Transformada de Fourier y la Transformada de Fourier inversa:

$$ e^{\Theta \partial_x^2} f(x) = e^{\Theta \partial_x^2} \int \frac{\mathrm{d}p}{\sqrt{2\pi}}e^{i x p} \tilde{f}(p) \\ = \int \frac{\mathrm{d}p}{\sqrt{2\pi}}e^{-\Theta p^2} e^{i x p} \tilde{f}(p) \\ \int \frac{\mathrm{d}p}{\sqrt{2\pi}}e^{-\Theta p^2} e^{i x p} \int\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi}} e^{-i y p} f(y) \\ = \int \frac{\mathrm{d}p\,\mathrm{d}y}{2\pi} e^{-\Theta p^2 + i p (x-y)} f(y) \\ = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\pi}{\Theta}} \int \mathrm{d}y\, e^{-\frac{(x-y)^2}{4}} f(y)\,. $$ Así, el operador no local $e^{\Theta \partial_x^2}$ es equivalente a la convolución con un núcleo gaussiano que es claramente no local ya que es una integral sobre $\mathbb{R}$ . Si puede resolver el $p$ integral esto debería ser posible de cada operador no local?

Answer 5

Sólo para información: existe el llamado operador de turno $\text{e}^{h\frac{d}{dx}}$ que desplaza el argumento de una función a otro punto, por ejemplo: $\phi(x+h)=\text{e}^{h\frac{d}{dx}}\phi(x)$ . Es evidente que contiene un número infinito de operadores diferenciales para cualquier función $\phi(x)$ .