Planitud y libertad local

Question

La siguiente afirmación es bien conocida:

$A$ un anillo noetheriano conmutativo, $M$ un módulo $A$% generado finitamente. Que $M$ es plano si y solo si $M_{\mathfrak{p}}$ es gratis para todos $\mathfrak{p}$.

Mi pregunta es: ¿necesitamos la suposición de que $A$ es noetheriano? Tengo una prueba (de Matsumura) que no requiere esa suposición, pero el hecho de que otras referencias (por ejemplo, Atiyah, Wikipedia) incluyan esta suposición me inquieta bastante.

Answer 1

Creo que la afirmación no-noetheriana es que "plano y finitamente presentado" implica localmente libre (es decir, proyectivo). Una prueba de esto se puede encontrar, por ejemplo, en La Introducción al Álgebra Homológica de Weibel.