Al calcular $\int_0^1\ln(1-x^2)\;{\mathrm dx}$, ¿dónde está el error?

Question

He visto la integral $\displaystyle \int_0^1\ln(1-x^2)\;{dx}$ en un hilo de este foro y he intentado calcularla usando series de potencia. Escribí la integral como una suma y luego de nuevo como una integral. Aquí está mi cálculo:

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1 \ln\left(1-x^2\right)\;{\mathrm dx} & = -\int0^1\sum{k \ge 0}\frac{x^{2k+2}}{k+1}\;{\mathrm dx} = -\sum{k \ge 0}\int{0}^{1}\frac{x^{2k+2}}{k+1}\;{\mathrm dx} \& = -\sum_{k \ge 0}\bigg[\frac{x^{2k+3}}{(k+1)(2k+3)}\bigg]0^1 = -\sum{k \ge 0}\frac{1}{(k+1)(2k+3)} \& = -\sum{k \ge 0}\frac{(2k+3)-2(k+1)}{(k+1)(2k+3)} = -\sum{k\ge 0}\bigg(\frac{1}{k+1}-\frac{2}{2k+3}\bigg) \& \color{blue}{= -\sum_{k\ge 0}\int_0^1\bigg(x^{k}-2x^{2k+2}\bigg)\;{\mathrm dx} = -\int0^1\sum{k\ge 0}\bigg( x^{k}-2x^{2k+2}\bigg)\;{\mathrm dx}} \&= \int_0^1\frac{1}{1+x}-2\;{\mathrm dx} = \bigg[\ln(1+x)-2x\bigg]_0^1 = \ln{2}-2.\end{aligned} $$

Debería haber obtenido $2\ln{2}-2$, no $\ln{2}-2$. Estoy pensando que o cometí un error muy tonto, o el paso azul está mal (probablemente el orden no se puede cambiar, aunque no sé por qué)!

Answer 1

\begin{eqnarray} \int{0}^{1}\ln\left(1 - x^{2}\right)\,{\rm d}x & = & \int{0}^{1}\sum{\sigma = \pm}\ln\left(1 + \sigma\,x\right)\,{\rm d}x = \sum{\sigma = \pm}\int{\sigma}^{1 + \sigma}\ln\left(\sigma\,x\right)\,{\rm d}x \ & = & \sum{\sigma = \pm}\sigma\int{1}^{1 + \sigma}\ln\left(x\right)\,{\rm d}x = \sum{\sigma = \pm}\sigma\,\left\lbrace% \left.x\ln\left(x\right)\vphantom{\Large A}\right\vert{1}^{1 + \sigma} - \int{1}^{1 + \sigma}x\,{1 \over x}\,{\rm d}x \right\rbrace \ & = & \sum{\sigma = \pm}\sigma\left\lbrack\vphantom{\Large A}% \left(1 + \sigma\right)\ln\left(1 + \sigma\right) - \sigma\right\rbrack = \sum{\sigma = \pm}\left\lbrack\vphantom{\Large A}% \left(\sigma + 1\right)\ln\left(1 + \sigma\right) - 1\right\rbrack \ & = & \left\lbrace\underbrace{\quad\lim{x \to 0}\left\lbrack\vphantom{\Large A} x\ln\left(x\right)\right\rbrack\quad}{=\ 0} - 1\right\rbrace\ +\ \left\lbrace\left(1 + 1\right)\ln\left(1 + 1\right) - 1\vphantom{\Huge A}\right\rbrace \[1cm]&&\mbox{} \end{eqnarray}

$$ \int_{0}^{1}\ln\left(1 - x^{2}\right)\,{\rm d}x = {\large 2\ln\left(2\right) - 2} $$