¿Cuál es tu ecuación, fórmula, identidad o desigualdad favorita?

Question

Ciertas fórmulas que realmente me gusta mirar son la fórmula de Euler-Maclaurin o la regla integral de Leibniz. ¿Cuál es tu ecuación, fórmula, identidad o desigualdad favorita?

Answer 1

La mía es definitivamente $$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6},$$ una asombrosa relación entre números enteros y pi.

Answer 2

$e^{\pi i} + 1 = 0$

Answer 3

$$1+2+3+4+5+\cdots = -\frac1{12}\,,$$ una vez debidamente regularizado por supuesto :-)

Answer 4

$$\frac{1}{1-z} = (1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)...$$

Ambos lados, como series de potencias formales, resultan en $1 + z + z^2 + z^3 + ...$, donde todos los coeficientes son 1. Esta es una versión analítica del hecho de que todo número entero positivo se puede escribir de exactamente una manera como una suma de potencias distintas de dos, es decir que las expansiones binarias son únicas.

Answer 5

Actualmente estoy obsesionado con la identidad $\det (\mathbf{I} - \mathbf{A}t)^{-1} = \exp \text{tr } \log (\mathbf{I} - \mathbf{A}t)^{-1}$. Es fácil de demostrar algebraicamente, pero su significado combinatorio es muy interesante.