¿Cuál es tu ecuación, fórmula, identidad o desigualdad favorita?

Question

Ciertas fórmulas que realmente me gusta mirar son la fórmula de Euler-Maclaurin o la regla integral de Leibniz. ¿Cuál es tu ecuación, fórmula, identidad o desigualdad favorita?

Answer 1

Teorema de Stokes $$\int_M\mathrm{d}\omega=\oint_{\partial M}\omega.$$

Answer 2

Trivial como esto es, me ha sorprendido durante décadas:

$(1+2+3+\cdots+n)^2=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3.$

Answer 3

Hay muchos, pero aquí hay uno.

$d^2=0$

Answer 4

$$ \frac{24}{7\sqrt{7}} \int_{\pi/3}^{\pi/2} \log \left| \frac{\tan t+\sqrt{7}}{\tan t-\sqrt{7}}\right| dt\\ = \sum_{n\geq 1} \left(\frac n7\right)\frac{1}{n^2}, $$ donde $\left(\frac n7\right)$ denota el símbolo de Legendre. No es realmente mi identidad favorita, ¡pero tiene la característica interesante de que es una conjetura! [Actualización: la conjetura fue demostrada en 2010, https://arxiv.org/abs/1005.0414.] Es un raro ejemplo de una identidad explícita conjeturada entre números reales que se puede verificar con precisión arbitraria. Esta identidad ha sido verificada hasta más de 20,000 lugares decimales. Ver J. M. Borwein y D. H. Bailey, Matemáticas por Experimento: Razonamiento plausible en el siglo XXI, A K Peters, Natick, MA, 2004 (páginas 90-91).

Answer 5

La mía es definitivamente $$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6},$$ una asombrosa relación entre números enteros y pi.