La distancia más corta entre dos curvas diferenciables que no se intersectan es a lo largo de su normal común

Question

Quiero demostrar formalmente la siguiente propiedad:

La distancia más corta entre dos curvas diferenciables que no se intersectan es a lo largo de su normal común.

He mirado la discusión sobre esto en Quora, (Enlace: https://www.quora.com/How-can-I-show-that-the-shortest-distance-between-2-non-intersecting-curves-always-lies-along-their-common-normal ), pero las pruebas no eran formales allí.

Mi enfoque : Sean las curvas denotadas por f y g respectivamente. Y sea AB un segmento de línea con A en f y B en g. WLOG, tome A como el origen del eje de coordenadas, y la tangente a f en A sea el eje x. Sea $B \equiv (b,g(b))$ , $A = (0,0)$ . Sea el ángulo que forma AB con el eje x $\theta \in (0,\pi)$ . Sean 2 rayos desde A que forman un ángulo de $\theta + \epsilon$ y $\theta - \epsilon$ ( $\epsilon > 0$ ) con el eje x se cruzan $y = g(x)$ en $B_1$ y $B_2$ respectivamente.

Deseo demostrar que $\theta \neq \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow |AB| > \min\{|AB_1|, |AB_2| \}$ .

Supongamos que $\theta \neq \frac{\pi}{2} $ . Entonces dejemos que $B_1 \equiv (b_1,g(b_1))$ y $B \equiv (b_2,g(b_2))$ .entonces \begin{align} g(b) &= b\tan(\theta)\\ g(b_1) &= b_1\tan(\theta + \epsilon)\\ g(b_2) &= b_2\tan(\theta - \epsilon) \\ \Rightarrow |AB| &= |b \sec(\theta) | \\ |AB_1| &= |b_1 \sec(\theta + \epsilon) | \\ |AB_2| &= |b_2 \sec(\theta - \epsilon) | \end{align} Quería relacionar $b_1$ y $b_2$ a $b$ utilizando la continuidad de $g$ . Sin embargo, no puedo hacerlo. ¿Cómo puedo proceder a partir de aquí? - ¿o hay un enfoque formal más fácil?

Answer 1

Supongamos que $a(s),b(t)$ son dos curvas en $\mathbb R^2$ con intervalo de parámetros $(0,1).$ Supongamos que $a'(s),b'(t)$ nunca desaparecen, de lo contrario los vectores normales no tienen sentido. Definir

$$f(s,t)= |a(s)-b(t)|^2.$$

Supongamos que $f(s_0,t_0)>0$ es el valor mínimo de $f$  (por lo tanto $\sqrt {f(s_0,t_0)}$ es la distancia entre las dos curvas). Entonces $(s_0,t_0)$ es un punto crítico de $f.$ Así,

$$\frac{\partial f}{\partial s}(s_0,t_0) = 2a'(s_0)\cdot(a(s_0)-b(t_0)) = 0$$

y

$$\frac{\partial f}{\partial t}(s_0,t_0) = 2b'(t_0)\cdot(b(t_0)-a(s_0)) = 0.$$

(Aquí $\cdot$ denota el producto punto). Por lo tanto, ambos $a'(s_0),b'(t_0)$ son perpendiculares al vector $b(t_0)-a(s_0).$ Así, el vector $b(t_0)-a(s_0)$ es perpendicular a $a$ en $a(s_0),$ y es perpendicular a $b$ en $b(t_0).$ Esta es la conclusión deseada.

Answer 2

La distancia entre dos curvas diferenciables es una función diferenciable. Si cada una de las curvas está representada por una función paramétrica: $[x_1, y_1] = c_1(t_1), [x_2, y_2] = c_2(t_2)$ entonces esta distancia es una función de $t_1$ y $t_2$ . Para nuestro propósito, utilizamos el cuadrado de la distancia, que tiene el mismo mínimo y viene dado por: $D=(x_1(t_1)-x_2(t_2))^2+(y_1(t_1)-y_2(t_2))^2$ .

Un mínimo local de una función diferenciable sólo puede darse en un punto en el que la derivada de esa función sea $0$ . Como la distancia es una función de dos variables, cada derivada parcial debe ser $0$ :

$$\frac{\partial D}{\partial t_1}=2(x_1(t_1)-x_2(t_2))\frac{\partial x_1}{\partial t_1}+2(y_1(t_1)-y_2(t_2))\frac{\partial y_1}{\partial t_1}=0$$ $$\frac{\partial D}{\partial t_2}=-2(x_1(t_1)-x_2(t_2))\frac{\partial x_2}{\partial t_2}-2(y_1(t_1)-y_2(t_2))\frac{\partial y_2}{\partial t_2}=0$$

Esto equivale a :

$$0=(x_1(t_1)-x_2(t_2))\frac{\partial x_1}{\partial t_1}+(y_1(t_1)-y_2(t_2))\frac{\partial y_1}{\partial t_1}$$ $$0=(x_1(t_1)-x_2(t_2))\frac{\partial x_2}{\partial t_2}+(y_1(t_1)-y_2(t_2))\frac{\partial y_2}{\partial t_2}$$

Obsérvese que cada una de estas ecuaciones no es más que el producto punto del vector entre los dos puntos y la derivada de esa curva:

$$0 = (c_1(t_1)-c_2(t_2))\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial t_1}\\\frac{\partial y_1}{\partial t_1}\end{bmatrix}$$ $$0 = (c_1(t_1)-c_2(t_2))\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial x_2}{\partial t_2}\\\frac{\partial y_2}{\partial t_2}\end{bmatrix}$$

El producto punto de dos vectores distintos de cero es $0$ si y sólo si esos vectores son perpendiculares. Sabemos que $c_1(t_1)-c_2(t_2)$ no puede ser cero porque entonces las curvas se intersecarían, y al menos una derivada parcial de una curva diferenciable debe ser siempre distinta de cero. Así que si algún valor de $[t_1, t_2]$ produce un mínimo local de la distancia, entonces las curvas $c_1$ y $c_2$ debe ser normal a la línea entre $c_1(t_1)$ y $c_2(t_2)$ en esos puntos.

Esto sólo es cierto para los mínimos locales, por lo que si las curvas tienen puntos finales, el mínimo absoluto podría contener un punto final en una o ambas curvas. También es cierto que no todas las normales comunes son siquiera mínimos locales, podrían ser máximos locales, o incluso podrían ser puntos de silla de montar en los que cambiar la posición del punto en una curva aumenta la distancia y cambiarla para la otra curva disminuye la distancia, por lo que la condición de una normal común es necesaria pero no suficiente para que los puntos de las curvas no intersecantes diferenciables sean un mínimo local de la distancia.