Tuve que responder a tres preguntas sobre puntos de acumulación. Creo que mi trabajo es correcto, pero agradecería que alguien me las revisara. (No estoy seguro de haber leído bien la pregunta 2).
En mis pruebas, definiré $x$ como punto de acumulación de $S \subseteq \mathbb{R}$ si se cumple la condición de definición: $\forall \epsilon > 0, \exists y \in S$ s.t. $y \neq x$ y $y \in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ .
(1)
Encuentra un subconjunto infinito de $\mathbb{R}$ que no tiene un punto de acumulación en $\mathbb{R}$ .
Toma $\mathbb{Z}$ un subconjunto infinito de $\mathbb{R}$ . Podemos demostrar que $\nexists x \in \mathbb{R}$ para satisfacer la condición de definición. Supongamos que hubiera algún $x$ s.t. $\forall \epsilon > 0, \exists y \in \mathbb{Z}$ s.t. $y \neq x$ y $y \in (x-\epsilon, x+\epsilon)$ si $|y-x| < \epsilon$ . Tenga en cuenta que como $y \neq x$ , $y-x \neq 0$ Así que $0<|y-x|<\epsilon$ . Entonces dejemos que $\epsilon = \frac{|y-x|}{2}$ Así que $0 < \epsilon < |y-x|$ . Así que podemos concebir un $\epsilon$ s.t. $y \notin (x - \epsilon, x+\epsilon)$ por lo que la condición definitoria no se cumple.
(2)
Encontrar un subconjunto acotado de $\mathbb{R}$ que no tiene un punto de acumulación en $\mathbb{R}$ .
Toma $X = \{1,2,3\}$ Así que $X \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}$ . Véase (1).
(3)
Encuentra todos los puntos de acumulación de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ . Tenga en cuenta que $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} = \mathbb{I}$ Los irracionales.
Tanto los racionales como los irracionales son densos en $\mathbb{R}$ por lo que se deduce que tanto $(\mathbb{I} \cap (x-\epsilon,x+\epsilon))\backslash\{x\} \neq \emptyset$ y $(\mathbb{Q} \cap (x-\epsilon,x+\epsilon))\backslash\{x\} \neq \emptyset$ para cualquier $\epsilon >0$ . Lo sabemos porque todos los racionales e irracionales son reales, por lo que cualquier racional o irracional $\pm \epsilon$ es también un real, por lo que existe un racional y un irracional entre dos reales cualesquiera $x-\epsilon, x+\epsilon$ . Por lo tanto, por pequeño que sea nuestro $\epsilon$ , seguiremos teniendo un racional y un irracional en $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ . Como los reales son la unión de los conjuntos disjuntos $\mathbb{Q},\mathbb{I}$ Debe ser que $\mathbb{R}$ es el conjunto de puntos de acumulación de los irracionales.
