Dejemos que $\Omega$ sea un subconjunto abierto convexo de $\mathbb{C}$ . Supongamos que $f : \Omega \to \mathbb{C}$ es analítica, tal que $f$ tiene una analítica $N$ -ésima raíz, donde $N \ge 2$ . Es decir, que hay alguna analítica $g : \Omega \to \mathbb{C}$ para que $g^N = f$ .
Me gustaría probar o refutar la siguiente afirmación: si $g_1$ y $g_2$ son dos analíticas $N$ -raíces de $f$ en $\Omega$ entonces $g_1 = \lambda g_2$ para $ \lambda \in \mathbb{C}$ con $\lambda^N = 1$
Si $f \equiv 0$ en $\Omega$ entonces esta afirmación es definitivamente válida. Además, si $f$ es no evanescente $\Omega$ entonces también lo son $g_1$ y $g_2$ . Podemos entonces definir la analítica $h(z) = \frac{g_1(z)}{g_2(z)}$ en $\Omega$ (con $(\frac{g_1(z)}{g_2(z)})^N \equiv 1$ demostrando que $h(z)$ es siempre igual a algún $N$ -raíz de la unidad). Pero $h(\Omega)$ está conectado, y por lo tanto $h(\Omega)$ debe ser un singleton, porque el $N$ -Las raíces de la unidad son discretas.
Mi problema ahora viene al tratar de encontrar una prueba cuando $f \not\equiv 0$ pero $f$ tiene algunos ceros aislados. ¿Hay contraejemplos que se puedan construir en esta situación?
Se agradecen mucho los consejos o soluciones.
