¿Cómo encontrar una parte entera de $10^{10^{10^{10^{10^{-10^{10}}}}}}$? Parece que está ligeramente por encima de $10^{10^{10}}$.
Respuesta
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Creo que el número en cuestión es $10^{10^{10}}+10^{11}\ln^4(10)$ más un pequeño número positivo. Es decir, comienza con un dígito $1$, seguido de $10^{10}-13$ ceros, luego por la cadena $2811012357389$, luego un punto decimal y luego algo de basura (que comienza como $4407116278\dots$).
Para ver esto, deje $x:=10^{-10^{10}}$, un pequeño número positivo, y ponga $c:=\ln(10)$, una constante importante. Tenemos $$10^x=1+cx+O(x^2)$$ $$10^{10^x}=10^{1+cx+O(x^2)}=10+10c^2x+O(x^2)$$ $$10^{10^{10^x}}=10^{10+10c^2x+O(x^2)}=10^{10}+10^{11}c^3x+O(x^2)$$ $$10^{10^{10^{10^x}}}=10^{10^{10}+10^{11}c^3x+O(x^2)}=10^{10^{10}}+10^{10^{10}}10^{11}c^4x+O(x^2),$$ donde $O(x^2)$ significa algo diminuto hasta el final.
En la última expresión tenemos $10^{10^{10}}10^{11}c^4x=10^{11}c^4$, lo que justifica mi afirmación.
