Cuando es un $k$-forma un $(p, q)$-forma?

Question

Deje $X$ ser un complejo de múltiples y denotar el espacio de todas las $(p, q)$formularios en $X$$\mathcal{E}^{p,q}(X)$. Olvidándose de la estructura compleja, se puede considerar el verdadero diferencial de $k$-formas de la subyacente suave colector; deje que el espacio de todas esas formas se denota por a $\mathcal{E}^k(X)$.

Tenemos la siguiente descomposición:

$$\mathcal{E}^k(X)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} = \bigoplus_{p+q=k}\mathcal{E}^{p,q}(X).$$

Una cosa esta descomposición nos dice es que es fácil decir si una $(p, q)$-form es una $k$-forma (comprobar si $p + q = k$). Lo acerca a la inversa?

Dado un (complexified) $k$-forma en un complejo colector, hay una manera para determinar si es un $(p, q)$-forma (para un determinado $p$$q$$p + q = k$)?

Por supuesto, esto se puede hacer por escrito la forma localmente, pero yo preferiría un enfoque más global.

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Mi motivación para hacer esta pregunta es que existe un sencillo test para saber si una complexified $1$-form es una $(1, 0)$-forma o $(0, 1)$-forma que voy a describir a continuación.

Deje $J$ ser el casi compleja estructura inducida por la estructura compleja (que se extendió a la complexified tangente bundle). A continuación, hay un inducida por el mapa de $J'$ sobre el complexified la cotangente de un paquete con $J'\circ J' = -\mathrm{id}$ - de forma explícita, este mapa está dado por $J'(\alpha)(v) = \alpha(J(v))$. Un complexified $1$forma $\beta$ $(1, 0)$- formulario si $J'(\beta) = i\beta$, y de manera similar a $\beta$ $(0, 1)$- formulario si $J'(\beta) = -i\beta$.

Answer 1

Este es el secreto de álgebra lineal que se trate. En primer lugar, permítanme establecer alguna notación. Deje $\mu$ ser un complejo de valores de $k$-forma en un verdadero espacio vectorial $E$, pero donde $E$ está equipada con una estructura compleja $J$. (Redactado de manera diferente: $E$ es un espacio vectorial complejo, pero estamos viendo como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y, a continuación, ver la multiplicación por $i$ como un endomorfismo.) A continuación, los números complejos actuar como lineal mapas en $E$ diciendo que $(a+ib)\star v = a v + bJv$.

Ahora, $\mathbb{C}$ también actúa en $k$ de las formas de la siguiente manera: Vamos a $z$ ser un número complejo. Luego defino $z\star \mu = \mu(z \cdot, z \cdot, \dots, z\cdot)$. I. e. $z \star \mu$ come $k$-vectores, se multiplica cada uno por $z$ y, a continuación, las fuentes que a $\mu$.

Mi reclamo es que el $(p,q)$ formas son precisamente aquellos para los que $z \star \mu = z^p \bar{z}^q \mu$.

La prueba de esta afirmación sigue desde $\mathcal{E}^{p,q}$ es el lapso de las cuñas de $p$ muchas $(1,0)$ formas con $q$ muchas $(0,1)$ formas. Esta propiedad que se describe está claramente lineal y vale para la $1$-formas por la observación que has hecho.

Luego, en el complejo colector, se sustituye esta propiedad para todos los $z \in \mathbb{C}$ buscando su lugar en todas las funciones $f \colon X \to \mathbb{C}$, y pidiendo que $f \star \mu = f^p \bar{f}^q \mu$.