También puede utilizar la integración del contorno y el teorema del residuo para encontrar la inversa de cualquier función dada $F(s)$ . En primer lugar, debemos conocer la transformada inversa de Laplace:
$$\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} (t) = f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \cdot \int_{\gamma-i \infty}^{\gamma + i \infty} e^{st}F(s) ds $$
para cualquier $\gamma$ a la derecha de todos los polos de $F(s)$ . Para calcularlo, podemos definir dos trayectorias cerradas en semicírculo: $C_l$ ) La izquierda que debe poseer todas las singularidades de $F(s)$ y converge para $t>0$ ; $C_r$ ) la derecha converge para $t<0$ y es cero ya que $e^{st}F(s)$ es analítica (Pero no queremos esto ya que suponemos que la Transformada de Laplace se comporta bien para $t>0$ ).
A partir de la integración del contorno y el teorema del residuo, tenemos:
$$\int_{C_l} e^{st}F(s) ds = \int_{semi-circle} e^{st}F(s)ds + \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}F(s)ds = 2\pi i \cdot \sum_{i=1}^k \{ \text{Res} (e^{st}F(s), s_i)\}$$
En la segunda integral del camino realizamos esta sustitución: $$s = Re^{i \theta}, \,\, ds = iRe^{i \theta}d \theta$$
Como el tercer camino es una línea recta desde $-i \infty$ a $i \infty$ en $\Re(z)=\gamma$ el radio del semicírculo será infinito y lo integraremos respecto a $\theta \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ . Así, tomamos el límite
$$\int_{semi-circle} e^{st}F(s)ds = \lim_{R \to \infty} \left[ \int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{tRe^{i \theta}}F(Re^{i \theta})i Re^{i \theta} d\theta\right]$$
Ahora, utilice la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ para transformar $e^{i \theta}$ y luego $e^{itR\sin(\theta)}$ . Después de eso, tenemos
$$\int_{semi-circle} e^{st}F(s)ds = \lim_{R \to \infty} \left[ i \int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{i \theta} \cdot \underbrace{ \frac{(\cos(tR\sin(\theta)+ i \sin(tR\sin(\theta))}{ e^{-tR cos(\theta)} } }_{0} \cdot F(Re^{i \theta}) R \, d\theta\right]$$
La expresión subyacente va a cero porque: $t>0$ , $\cos( \theta) <0 $ y el denominador oscila entre dos valores finitos. En este caso, $F(Re^{i \theta}) R$ va a cero también, por lo tanto el límite existe y la integral es cero:
$$\int_{semi-circle} e^{st}F(s)ds = \lim_{R \to \infty} \left[ i \int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{i \theta} \cdot \underbrace{ \frac{(\cos(tR\sin(\theta)+ i \sin(tR\sin(\theta))}{ e^{-tR cos(\theta)} } }_{0} \cdot \underbrace{F(Re^{i \theta}) R}_{0} \, d\theta\right] = 0$$
Como resultado, tenemos:
$$\int_{C_l} e^{st}F(s) ds = 0 + \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}F(s)ds = 2\pi i \cdot \sum_{i=1}^k \{ \text{Res} (e^{st}F(s), s_i)\}$$
Sumaremos los residuos de $e^{st}F(s)$ . De hecho sólo $F(s)$ porque la exponencial es analítica en $\mathbb{C}$ Por lo tanto, no hay polos. Como los polos no se repiten, podemos calcular el residuo de la siguiente manera
$$\text{Res}(f(z), z_0) = \lim_{z \to z_0 \text{(pole)}} [ (z-z_0) f(z)]$$
Aquí los polos son los valores que hacen $s^2 + \sqrt2 s +1 = 0$ . Son:
$$s_{1,2} = - \frac{1}{\sqrt2} \pm \frac{1}{\sqrt2}$$
Así, los residuos son:
$$\text{Res}(e^{st}F(s), s_1) = \frac{e^{-\frac{t}{\sqrt2}+\frac{it}{\sqrt2}}}{i \sqrt2}\\ \text{Res}(e^{st}F(s), s_1) = \frac{e^{-\frac{t}{\sqrt2}-\frac{it}{\sqrt2}}}{-i \sqrt2} $$
Entonces,
$$ \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} (t) = f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \cdot 2\pi i (e^{-\frac{t}{\sqrt2}} \sqrt2 \sin(t/ \sqrt2) )\\ \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} (t) = f(t) = e^{-\frac{t}{\sqrt2}} \sqrt2 \sin(t/ \sqrt2) $$
Puede encontrar otros resultados en Wikipedia y esta serie le será de utilidad: https://www.youtube.com/watch?v=iUhwCfz18os&list=PLdgVBOaXkb9CNMqbsL9GTWwU542DiRrPB
