Una secuencia de funciones continuas converge uniformemente sobre $\mathbb{R}$ si converge uniformemente sobre $\mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de mostrar que si ${f_n}$ es una secuencia de funciones reales que es continua sobre todo $\mathbb{R}$ y que converge uniformemente a $f$ en $\mathbb{Q}$ entonces converge uniformemente a $f$ en $\mathbb{R}$ . La pista que me dan es utilizar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.

Sé que $f$ es continua sobre $\mathbb{Q}$ y que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ pero utilizando las definiciones de continuidad y densidad sigo teniendo problemas para demostrar que $f_n$ es uniformemente Cauchy.

Cualquier tipo de ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon>0$ que se le dé. Elija $x\in \mathbb{R}$ arbitraria y $q\in\mathbb{Q}$ .entonces

$$|f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(x)-f_n(q)+f_n(q)-f_m(q)+f_m(q)-f_m(x)|$$ Por la desigualdad del triángulo, esto es menos que $$ |f_n(x)-f_n(q)|+|f_n(q)-f_m(q)+|f_m(q)-f_m(x)|$$ Ahora elige $N$ tal que para $n,m>N$ el término del medio es $<\varepsilon/2$ . Por supuesto, esto es posible independientemente de $q$ . Ahora, para cualquier $n,m>N$ , $f_n$ y $f_m$ son continuas en $x$ . Así que puedes elegir $q$ tal que el primer término y el último sean menores que $\varepsilon/2$ también.

Edición: Obsérvese que en el último paso la elección de $q$ depende de $n,m$ y $x$ . Lo importante es que $N$ no lo hace y que $\varepsilon$ en un principio, se eligió de forma arbitraria.

Answer 2

Dejar $r\in \mathbb Q$ entonces por definición $|f_n(r)-f_m(r)|<\frac{\epsilon}{2}\forall n,m\geq p$

Desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ dado $x\in \mathbb R\exists r\in \mathbb Q$ tal que $|x-r|<\delta $

Desde $f_n$ es continua $|x-r|<\delta \implies |f_n(x)-f_n(r)|\epsilon \forall n\geq p$

por lo tanto, para $x\in \mathbb R,|f_n(x)-f_m(x)|=|(f_n(x)-f_n(r))+(f_n(r)-f_m(r))|\leq... $