Si $M$ es un modelo de clase estándar de ZFC isomorfo a $V$ , entonces es $M = V$ ?

Question

Considere la siguiente afirmación: (T) "Si $M$ es un modelo de clase estándar de ZFC isomorfo a $V$ entonces $M = V$ ." La afirmación (T) es equivalente a: "Si el colapso transitivo de un modelo de clase estándar $M$ de ZFC es igual a $V$ entonces $M = V$ ." Esto se debe a que el colapso transitivo de una clase $M$ es la única clase transitiva que es isomorfa en términos de elementos a $M$ .

Aquí, por modelo de clase estándar de ZFC me refiero a un modelo de clase de ZFC cuya relación de elementalidad es la relación de elementalidad real.

Supongamos que ZFC es consistente. ¿Prueba ZFC (T)? ¿Defiende ZFC (T)? Si la respuesta a ambas es negativa, ¿el ZFC con algún axioma cardinal grande adicional refuta (T)?

Answer 1

No. Definir $F:V\to V$ por $\in$ -recursiones como $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$ . Claramente $F(x)$ es no vacía para todos los $x$ . También, $F$ es inyectiva: si $F(x)=F(x')$ , entonces por inducción en $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ podemos suponer $F$ es inyectiva en $x\cup x'$ . Desde $F(x)=F(x')$ debemos tener $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$ pero como $F$ es inyectiva en $x\cup x'$ esto implica $x$ y $x'$ tienen los mismos elementos y por lo tanto $x=x'$ . También claramente $y\in x$ implica $F(y)\in F(x)$ y la inversa se deduce de la inyectividad de $F$ .

En conjunto, esto demuestra que $F$ es un isomorfismo de $(V,\in)$ a $(M,\in)$ donde $M$ es la imagen de $F$ . Pero $M\neq V$ ya que $\emptyset\not\in M$ .