Cuando la variedad riemanniana $\mathbb{R}^n$ ¿es completo como espacio métrico con respecto a la distancia de Riemann?

Question

Consideremos la variedad riemanniana $\mathbb{R}^n$ y una métrica suave de Riemann $G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n\times{n}}$ . ¿Cuál es la hipótesis mínima sobre $G$ tal que el colector $\mathbb{R}^n$ es completo como espacio métrico con respecto a la distancia riemanniana determinada por $G$ . La distancia riemanniana $d_G(x,y)$ entre puntos $x,y\in\mathbb{R}^n$ se define como sigue: $d_G(x,y)=\inf_{\chi\in\Omega(x,y)}\int_0^1{\sqrt{\left(\frac{d\chi(s)}{ds}\right)^TG(\chi(s))\frac{d\chi(s)}{ds}}ds}$ , donde $\Omega(x,y)$ es el conjunto de todas las trayectorias suaves a trozos que conectan $x$ a $y$ . Se puede comprobar fácilmente que si $G$ se satisface: $\omega_1\Vert{y}\Vert_2^2\leq y^TG(x)y\leq\omega_2\Vert{y}\Vert_2^2$ para cualquier $x,y\in\mathbb{R}^n$ y para algunas constantes positivas $\omega_1$ y $\omega_2$ entonces $\mathbb{R}^n$ es un espacio métrico completo con respecto a $d_G$ . Además, si podemos encontrar un cambio de coordenada tal que la métrica en la nueva coordenada satisfaga el supuesto anterior, de nuevo el resultado es verdadero. Me pregunto si existen supuestos más débiles sobre $G$ para demostrar el resultado o existen contraejemplos para demostrar que estos supuestos son necesarios.

Answer 1

Estás asumiendo que el mapa de identidad entre la métrica riemanniana y la métrica euclidiana es bi-Lipschitz, pero esto es ciertamente demasiado fuerte. Aquí hay dos contraejemplos:

1. Toma algún autodifeomorfismo $f$ de $\mathbb{R^n}$ con derivadas no limitadas por debajo y por encima, y retira la métrica euclidiana.

2. Toma hiperbólica $n$ -que es completo y difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ pero no bi-Lipschitz a ella.

Answer 2

Una condición necesaria y suficiente estándar es que todo conjunto acotado para su métrica esté acotado en $\mathbb{R}^n$ con la norma euclidiana estándar.