Subconjuntos en conjunto axiomático de la teoría ZFC

Question

Una pregunta ingenua acerca de la teoría de conjuntos axiomática

Estoy tratando de enseñar a mí mismo básicos de la teoría de conjuntos mediante la lectura de La Teoría de conjuntos para el Trabajo Matemático por Krzysztof Ciesielski, y solo estoy en el Capítulo 1, pero ya estoy un poco desconcertado.

Para ser concretos, vamos a trabajar en ZFC.

El axioma de separación dice que si $x$ es un conjunto, $p$ un parámetro, y $\varphi$ es una fórmula, a continuación, $y=\{u\in x: \varphi(u,p)\}$ es también un conjunto. Podemos llamar a esto $y$ un subconjunto de a $x$.

Ingenuamente, que he leído esta diciendo que cualquier fórmula delimitado colección de elementos de $x$ es un subconjunto. Lo que me pregunto es si esta axioma da a todos la "subconjuntos" (en el sentido ingenuo). Es decir, podría existir una colección de elementos de $x$ eso no puede ser así delimitado y no es un conjunto? O, posiblemente, a cuyo estado se desconoce?

Gran atención (a través de nuevos axiomas) se toma para demostrar que los únicos $\{u\}$ son subconjuntos, y también que la unión o la intersección de conjuntos es un conjunto. El complemento de un subconjunto también debe trabajar a través de $y^c=\{u\in x: u\notin y\}$. Pero la pregunta general parece que no sea un problema en la teoría de conjuntos. Es que debido a que la proposición de que todos los "subconjuntos" son subconjuntos de la siguiente manera a partir de los axiomas de ZFC, o que la pregunta sea interesante? Sospecho que soy overthinking este...

También tengo la Teoría de conjuntos por Kenneth Kunen y la Teoría de conjuntos (3ª edición) por Thomas Jech si quieres que me apunte a algún lugar en particular.

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La comprensión de esquema (o esquema de separación) Para cada fórmula $\varphi(s,t)$ con variables libres $s$$t$,$x$, y el parámetro $p$ existe un conjunto $y=\{u\in x: \varphi(u,p)\}$ que contiene todos los $u\in x$ que tienen la propiedad de $\varphi$.

Answer 1

Ciertamente es posible! Hay modelos de la teoría de conjuntos, donde cada conjunto es definible, sin parámetros! http://arxiv.org/abs/1105.4597 En este modelo, cualquier "subconjunto" (de alguna serie en el modelo) que no es definible no es un conjunto.

Mientras tanto, es "normalmente" en el caso de que exista nondefinable subconjuntos, aunque es difícil decirlo con precisión. Por ejemplo, si $M$ es un modelo de la teoría de conjuntos de tamaño, al menos,$\aleph_2$, entonces podemos encontrar $a, b\in M$ con

• $a$ es un subconjunto de a $b$, pero

• $a$ no es definible en $M$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos con $b$ como parámetro.

Este es un buen ejercicio. (SUGERENCIA: dado que el $M$ tiene un tamaño de al menos $\aleph_2$, encontramos algunos $b\in M$ tal que $(\mathcal{P}(b))^V$ es incontable.)

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También es posible que un modelo de "miss" subconjuntos de un conjunto dado, porque son indefinible: forzar es particularmente espectacular manera de construir instancias de un modelo de $M$, un elemento $b\in M$, y un modelo más grande, $N\supseteq M$ tal que $N$ "ve" más subconjuntos de a$b$$M$.

Answer 2

Desde que nos permiten a los parámetros, todo es definible en la más extravagante posible. Si desea definir el conjunto de $y$, con tan sólo mirar en la fórmula $\varphi(x,p):=x\in y$$p=y$.

Ahora si $A$ es un conjunto, y $y$ es un subconjunto de a$A$, $y$ está definido por la fórmula, con el parámetro adecuado.

Por supuesto, si usted quiere hablar acerca de definability sin parámetros, Noah le dio una buena respuesta.

Answer 3

Sí, es posible que no puede ser subcolecciones de un conjunto que no son conjuntos.

Sin embargo, por el axioma de comprensión, tal situación sólo puede surgir si usted tiene algunos externo de la noción de "subcolección". Así como el tiempo que permanezca en el "interior" de un conjunto teórico universo, todas las subcolecciones de conjuntos debe ser en realidad conjuntos de sí mismos.

En aplicaciones típicas, suponemos que estamos a permanecer en el interior de un universo, o que el modelo de ZFC es lo suficientemente grande como para que todos los subgrupos son en realidad conjuntos; se trabaja con modelos que faltan algunos subcolecciones es algo limitado principalmente a los técnicos de conjunto teórico o epistemológico argumentos.

Si no estás en el punto donde usted puede envolver su cabeza alrededor de la paradoja de Skolem, ignorar la siguiente.

Si usted tiene una contables modelo de ZFC, entonces el conjunto de los números naturales sólo debe tener countably muchos subconjuntos; en consecuencia, "la mayoría" de las subcolecciones de su conjunto de los números naturales no son en realidad conjuntos de los contables del modelo.