Demostrar que los términos de la secuencia ${T_{n+1}}=T_n^2-T_n+1$ son relativamente primos

Question

Dado que $T_1=2$ y ${T_{n+1}}=T_n^2-T_n+1$ , $n>0$ .

demostrar que $T_n$ y $T_m$ son relativamente primos siempre que $n \neq m$

Lo intenté calculando los primeros términos de la secuencia, pero no pude reconocer un pattren. También estoy pensando en hacer una prueba de inducción sobre $k$ , donde $n+m=k$ . Pero no tengo ni idea de por dónde empezar.

Se agradecerá cualquier acierto o solución

Answer 1

Gracias a la sugerencia de Naruki Masuda, he podido responder a la pregunta.

Demostrar por inducción

Caso base : Desde $T_{n+1}=T_n^2-T_n+1$

Entonces $T_{n+1}\equiv 1 \pmod{T_n}$

Hipótesis de inducción : suponer que es cierto para algunos $k\in\mathbb{N}$

$T_{n+k}\equiv 1 \pmod{T_n}$
Entonces $T_{n+k+1}={T_{n+k}}^2-T_{n+k}+1\equiv 1^2-1+1=1\pmod{T_n}$

Así, por inducción matemática, es cierto para todos los elementos de esta secuencia que $T_n$ y $T_m$ son relativamente primos siempre que $n \neq m$