Dejemos que $T: V \rightarrow V$ sea un mapa lineal, donde $nullity(T) = dim(V) - 1$ . Demostrar que hay un $\lambda$ tal que $T^{2}(v) = \lambda T(v)$ .

Question

Dejemos que $T: V \rightarrow V$ sea un mapa lineal, donde $nullity(T) = dim(V) - 1$ .

Dejemos que $w$ sea un vector de la imagen de $T$ . Si $T(w) \neq 0$ demostrar que hay un número no nulo $\lambda$ tal que $T^{2}(w) = \lambda T(w)$ .

Demostrar que $T^{2}(v) = \lambda T(v)$ para todos $v \in V$ .

Indique los resultados que utiliza.

Edición: Se me olvidó mencionarlo, $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ .

Empecé esto usando el teorema de rango-nulidad para encontrar que $rank(T) = 1$ pero no sé muy bien a dónde ir a partir de ahí. Entiendo que el rango de un mapa lineal es una especie de "grados de libertad", por lo que la imagen que sólo tiene una dimensión significa que cualquier vector $w$ que es el resultado de poner un vector $v$ en el mapa lineal (en la imagen de T) puede ser representado por un solo número, por lo que si este vector $w$ es distinto de cero, entonces aplicar T de nuevo sólo cambiará este número por un factor de $\lambda$ .

Esa es la idea general que saco de esta pregunta, sin embargo no estoy seguro de cómo demostrarlo de forma elocuente y rigurosa.

Answer 1

Suponemos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ . La presencia del mapa lineal $T$ con $\mathrm{nullity}(V)=\dim\ker T = \dim(V)-1$ testifica que $\dim V\geq 1$ .

La imagen de $T$ , $\mathrm{im}\mspace{2mu}T = T\mspace{1mu}V$ es un subespacio unidimensional $Fa$ de $V$ , donde $a$ es un vector no nulo.
Si $v$ es cualquier vector en $V$ entonces $Tv=\varphi(v)a$ para un único $\varphi(v)\in F\,$ esto define el mapeo $\varphi\colon V\to F$ que se ve fácilmente que es un funcional lineal (porque $T$ es una transformación lineal).
Ahora, de nuevo para un $v\in V$ tenemos $$ T^2v = T(Tv) = T(\varphi(v)a) = \varphi(v)Ta=\varphi(v)\varphi(a)a=\varphi(a)\varphi(v)a=\varphi(a)Tv~, $$ por lo tanto $T^2v=\lambda\mspace{2mu} Tv$ con $\lambda=\varphi(a)$ . Hecho.

Observación. La conmutatividad de $F$ es esencial. El razonamiento anterior se rompe, cerca de su final,
si $F$ es un anillo de división no conmutativo.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{im}{im}\DeclareMathOperator{rank}{rank}$ Tenemos $\rank(T) = 1$ y $n = \dim(V)$ . Esto significa que $$ T = A \left( \begin{array}{r} t_1 & \dots & t_n \\ 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \\ \end{array} \right) = (t_1 a_1, t_2 a_1, \dotsc, t_n a_1) \\ $$ para algún vector $t \in V$ , $t \ne 0$ y algún invertible $n \times n$ matriz $A = (a_1, \dotsc, a_n)$ donde el $a_i$ son los vectores columna de $A$ .

La matriz $A$ es la inversa del producto de los matrices elementales que representan las transformaciones utilizadas por la eliminación de Gauss para llegar a la forma escalonada.

Así que para cualquier $v \in V$ tenemos $$ T v = (t_1 a_1, t_2 a_1, \dotsc, t_n a_1) v = (t^\top v) \, a_1 $$ que se encuentra en la línea $\alpha a_1$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ y donde $\top$ significa transposición de la matriz.

Además, porque $T$ es lineal tenemos \begin{align} T^2 v &= T(Tv) \\ &= T((t^\top v) a_1) \\ &= (t^\top v) \, T(a_1) \quad (*) \\ &= (t^\top v) (t^\top a_1) a_1 \\ &= (t^\top a_1) (t^\top v) a_1 \\ &= (t^\top a_1) T(v) \\ &= \lambda T(v) \end{align} con $\lambda = t^\top a_1$ . Tenemos $t\ne 0$ por el rango, y $a_1 \ne 0$ porque $A$ es invertible.

Lo que queda es un argumento, por qué $t$ y $a_1$ no son ortogonales:

Supongamos que $t^\top a_1 = 0$ entonces $T(a_1) = (t^\top a_1) a_1 = 0$ . Ecuación $(*)$ implicaría entonces que $T^2 = 0$ .

Sin embargo, la tarea supone que hay un $w \in \im(T)$ , $w \ne 0$ con $T(w) \ne 0$ . Porque $w \in \im(T)$ debe haber un $x \in V$ con $T(x) = w$ Así que $T^2(x) = T(w) \ne 0$ por la suposición, así que $T^2 \ne 0$ . Esto significa que $t$ y $a_1$ no son ortogonales, y por tanto $\lambda \ne 0$ .