Demuestra que 360 divide (a-2)(a-1)a.a.(a+1)(a+2)

Question

Hay una pregunta que pide demostrar que

360 | a 2 (a 2 -1)(a 2 -4)

Lo intenté de la siguiente manera.

a 2 (a 2 -1)(a 2 -4) = (a-2)(a-1)(a)(a+1)(a+2)(a)

Los 5 primeros términos representan el producto de 5 términos consecutivos. Por lo tanto, uno de ellos tendrá un factor de 5 Uno de ellos tendrá un factor de 4 Uno de ellos tendrá un factor de 3 Uno de ellos tendrá un factor de 2 => 5 x 4 x 3 x 2 = 120 dividirá con seguridad la expresión dada.

Ahora, ¿cómo puedo traer un factor de 3. Sé que he perdido una potencia de a. Pero, creo que estoy perdiendo algo. La ayuda será apreciada

Gracias

Answer 1

Una pista: ambos $(a-2)(a-1)a$ y $a(a+1)(a+2)$ son productos de tres enteros consecutivos.

Answer 2

Sabemos por aquí o aquí el producto $n$ enteros consecutivos es divisible por $n!$ para los enteros $n>0$

$$(a-2)(a-1)a\cdot a(a+1)(a+2)$$

$$=(a-2)(a-1)a(a+3-3)(a+1)(a+2)$$

$$=\underbrace{(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)}_{\text{ the product of } 6\text{ consecutive integers }}-3\underbrace{(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)}_{\text{ the product of } 5\text{ consecutive integers }}$$

Podríamos dividir $a$ como $a-3+3$ también.

Answer 3

Si 3 divide $a-1$ entonces también debe dividir $a+2$ . Del mismo modo, si divide $a-2$ debe dividir $a+1$ . Si no divide ninguno de ellos, entonces divide $a$ . En los tres casos se obtiene un factor de nueve que se suma a los factores conocidos de $5$ , $4$ y $2$ .

Answer 4

Su argumento existente muestra que el producto es divisible por $8$ y $5$ y, por tanto, por $40$ . Para demostrar que es divisible por $9$ , tenga en cuenta que, o bien $3$ divide $a$ en cuyo caso se produce dos veces debido a $a^2$ o divide dos de los otros factores.

Answer 5

Tenemos $360 = 8 \times 9 \times 5$ por lo que bastará con comprobar que $8,9,5|a^2(a^2-1)(a^2-4)$ .

Para $9$ , tenga en cuenta que $a^2$ es congruente con $1$ o $0$ modulo $3$ Así que ambos $a(a^2-1)$ y $a(a^2-4)$ son divisibles por $3$ y por lo tanto $9|a^2(a^2-1)(a^2-4)$ .

Igualmente, $a^2$ es congruente con $1$ o $0$ o $4$ modulo $5$ Así que, de nuevo, la divisibilidad $5|a^2(a^2-1)(a^2-4)$ se mantiene.

Por último, nos fijamos en la divisibilidad por $8$ . Si $a$ es par, entonces $4|a^2$ y $4|a^2 -4$ , por lo que se tiene la divisibilidad $8|a^2(a^2-1)(a^2-4)$ (incluso con $16$ en lugar de $8$ ). Si $a$ es impar, entonces $a-1,a+1$ son pares y uno de ellos es divisible por $4$ Así que $a^2-1$ es divisible por $8$ y la divisibilidad buscada se mantiene.

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Como regla general, si usted tiene un problema como (es decir, "Mostrar que $360|f(a)$ para todos $a$ ") esto y no quieres pensar demasiado, puedes primero retorcer $360$ como producto de potencias de primos (no hay nada especial en $360$ aquí, por supuesto), y luego comprobar que si $P$ es la mayor potencia de un primo que divide a $360$ (es decir $P=8,9,5$ aquí) siempre tienes $P|f(a)$ . Esta segunda comprobación puede hacerse por fuerza bruta: basta con comprobar que $P|f(0),f(1),\dots,f(P-1)$ - esto requiere sólo la cantidad de cálculo que se puede hacer a mano.