Teorema de la bandera británica generalizado e inspirado en el teorema de la bandera británica

Question

Teorema de la bandera británica : Dejemos que $P$ sea un punto del plano, y que $ABCD$ sea un rectángulo en el plano entonces:

$$PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$$

Generalización: Dejemos que $ABCD$ sea un rectángulo en un plano, Sea $P$ sea un punto del espacio tridimensional euclidiano, entonces

$$PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$$

Definir dos cuboides directamente similares: Dejemos que $ABCDEFGH$ y $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$ son dos cubos directamente similares si $ABCDEFGH$ y $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$ son dos cuboides y:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AE}{A_1E_1}$$

Ejemplo: Dos cubos son dos directamente similares cuboides .

Generalización: Inspiración en el teorema de la bandera británica : Dejemos que $ABCDEFGH$ y $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$ sean dos directamente similares cuboides en el espacio tridimensional euclidiano, entonces:

$$AA_1^2+CC_1^2+FF_1^2+HH_1^2=BB_1^2+DD_1^2+EE_1^2+GG_1^2$$

Mi pregunta: El resultado se mantiene en Espacio euclidiano ?

Answer 1

Lo que sigue no demuestra (ni refuta) su conjetura. Por el contrario, sólo demuestra que es no una generalización del teorema de la bandera británica, porque se cumple en el caso degenerado de un solo punto y un cuadrilátero arbitrario, mientras que el teorema de la bandera británica sólo se cumple para los rectángulos.

Consideremos un cuboide $ABCDEFGH$ con caras congruentes $ABCD$ y $EFGH$ (que no son necesariamente rectángulos). Aplanar este cuboide de forma que en el límite $ABCD \equiv EFGH$ . Ahora encoge el cubo directamente similar $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$ hasta un único punto límite $P$ .

Entonces la relación:

$$AA_1^2+CC_1^2+FF_1^2+HH_1^2=BB_1^2+DD_1^2+EE_1^2+GG_1^2$$

se convierte:

$$PA^2+PC^2+PB^2+PD^2=PB^2+PD^2+PA^2+PC^2$$

que siempre es cierto.

En cambio, el teorema de la bandera británica sólo es válido para $ABCD$ rectángulos, y existe una variación de la misma para los paralelogramos, pero ninguna para los cuadriláteros arbitrarios.