¿Cómo demostrar si estas dos variables aleatorias son independientes o no?

Question

Me encontré con esta pregunta

Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribuciones.

Dejemos que $Z = XY$

1. Escriba una tabla con la distribución de probabilidad de $Z$
2. ¿Son las variables aleatorias $X$ y $Z$ ¿Independiente?

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Así que me las arreglé para calcular la distribución de probabilidad de $Z$ que es:

La parte que me cuesta averiguar es si Z y X son independientes.

Sé que si $P(X \cap Z) = P(X)P(Z)$ entonces $X$ y $Z$ son independientes.

¿Cómo puedo utilizar esto para demostrar que X y Z son independientes o no?

Cualquier ayuda es realmente apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Tenga mucho cuidado cuando diga "si $P(X \cap Z) = P(X)P(Z)$ entonces $X$ y $Z$ son independientes". $X$ y $Z$ son variables aleatorias, por lo que una afirmación como $P(X)$ no tiene ningún significado.

Sólo se puede preguntar cuál es la probabilidad de un evento. Una variable aleatoria no es un suceso. Un ejemplo de suceso es $(X=0)$ . Así que se podría preguntar qué es $P(X=0)$ ? (La respuesta es $\frac{1}{4}$ de lo que tienes arriba).

Dos eventos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \ {\rm and} \ B) = P(A)P(B)$ . Estoy usando "y" porque creo que es un poco más intuitivo pero $\cap$ también es bueno.

Dos variables aleatorias (discretas) $X$ y $Z$ son independientes si $P(X = a \ {\rm and} \ Z = b) = P(X = a)P(Z = b)$ para todos los valores posibles $a$ y $b$ .

Aunque más intuitivamente se podría pensar en ello como "si supiera el valor de la variable aleatoria $X$ toma, ¿podría eso influir en mi creencia de lo que $Z$ es? Si es así, entonces $X$ y $Z$ son dependientes. Si no para todos los valores $X$ podría tomar, entonces son independientes.