Dejemos que $X$ sea un conjunto contable. Consideremos el espacio $\mathbb{R}^X$ de funciones de valor real en $X$ equipado con la topología del producto.
Es $\mathbb{R}^X$ ¿convexo localmente?
Si no, ¿es el espacio de las funciones acotadas de valor real sobre X?
La topología del producto es siempre localmente convexa si las topologías de cada fibra son localmente convexas. El espacio $\prod_{x\in X} Y_x$ donde cada $Y_x$ es un espacio localmente convexo, es localmente convexo. Esto se debe a que las vecindades básicas vienen dadas por los productos $\prod_{x\in X} V_x$ donde un número finito de ellos satisface $V_x\ne Y_x$ y $V_x$ es abierta. Si cada fibra es localmente convexa, dado un punto podemos elegir vecindades convexas $V_x'\subset V_x$ para los componentes no triviales, y luego $\prod_{x\in X}V_x'$ es una vecindad convexa.
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