Demostrar que un operador lineal $T:E \rightarrow E'$ tal que $\langle Tx,y \rangle=\langle Ty,x\rangle$ está acotado

Question

Sea E un espacio de Banach y $T:E\to E'$ un operador lineal tal que $\langle Tx,y\rangle=\langle Ty,x\rangle$ para todos $x,y\in E$ . Aquí $E'$ es el espacio dual de $E$ . Tengo que demostrar que $T$ es un operador acotado. He intentado utilizar el teorema del grafo cerrado, pero no puedo demostrar que el grafo de T sea cerrado. Agradecería si alguien pudiera ayudarme. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $x_n\to x$ en $E$ y $Tx_n\to z$ en $E'$ . Tenga en cuenta que para todos los $y\in E$ tenemos $$ \langle z,y\rangle =\lim\limits_{n\to\infty}\langle Tx_n, y\rangle =\lim\limits_{n\to\infty}\langle Ty, x_n\rangle =\langle Ty, \lim\limits_{n\to\infty}x_n\rangle =\langle Ty, x\rangle =\langle Tx, y\rangle $$ Desde $y\in E$ es arbitrario $z=Tx$ . Por el teorema del gráfico cerrado $T$ está acotado.

Answer 2

También es posible aplicar Banach-Steinhaus para obtener la continuidad.