Prueba $\sqrt6$ es irracional

Question

Supongamos que $\sqrt6 = \frac pq$ donde $p$ y $q$ no tienen factores comunes.

$$6 = \frac {p^2}{q^2}$$

$$6p^2 = q^2$$

Así que $q^2$ y por lo tanto $q$ es divisible por $6$ .

$$p^2 = \frac {q^2}{6}$$

Así que $p^2$ y por lo tanto $p$ es divisible por $6$ .

S0, $p$ y $q$ tienen un factor común $6$ . Contradicción.

Por lo tanto, $\sqrt6$ es irracional.

¿Funciona la prueba?

Answer 1

Como otros han señalado, es importante justificar que $6 \mid q^2 \Rightarrow 6\mid q$ . Y no está del todo claro en su prueba.

Sugiero lo siguiente.

En primer lugar, demuestre que $\sqrt{6}$ no es un número entero. No es difícil hacerlo. Ya que $4<6<9$ se deduce que $2<\sqrt{6}<3$ y eso significa que $\sqrt{6}$ no es un número entero.

Ahora suponer que $\sqrt{6}$ es un número racional, $\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos coprimos y $q>1$ .

Ahora puede escribir

$$6=\frac{p^2}{q^2}$$

$$\Rightarrow 6q=\frac{p^2}{q}$$

Está claro que el lado izquierdo es un número entero. Pero el lado derecho no lo es ya que $p^2$ y $q$ no comparten factores comunes.

Así que esta igualdad no puede mantenerse. Y $\sqrt{6}$ no puede ser igual a $\frac{p}{q}$ .

Así que tiene que ser un número irracional.

Hay una prueba increíblemente corta de esto si conoces el teorema de la raíz racional. Sólo hay que notar que $\sqrt{6}$ es una raíz del polinomio mónico $x^2-6$ . La prueba es casi inmediata.

EDIT: Aquí hay una justificación desordenada de por qué $q$ no divide $p^2$ . Sea $p=\prod {p_i}^{x_i}$ y $q=\prod {p_j}^{y_j}$ tal que $x_i$ y $y_j$ son enteros positivos. Esta notación es increíblemente informal, pero permite entender el mensaje.

Ahora bien, como $p$ y $q$ son coprimas, $p_i\neq p_j$ para cualquier $i$ & $j$ . Ahora $p^2=\prod {p_i}^{2{x_i}}$ . Observe que $p^2$ tiene los mismos divisores primos que $p$ . Desde $p$ y $q$ no comparten factores primos comunes, se deduce que $p^2$ y $q$ no comparten factores primos comunes.

Esto significa que $q\nmid p^2$ .

Answer 2

Supongamos que $\sqrt{6}$ es un número racional. Entonces $\exists p, q\in \mathbb{Z}, \,\, q>1$ y $gcd(p, q)= 1$ es decir, no tienen factores comunes.

$\dfrac{p}{q}= \sqrt{6} \Rightarrow p^2= 6q^2$

Por lo tanto, $p^2$ es par, es decir $2|p^2 \Rightarrow 2|p$

$\therefore \hspace{1cm} p= 2r \hspace{1cm}[r\in \mathbb{Z}]$

$\therefore \hspace{1cm} 4r^2= 6q^2 \Rightarrow 3q^2= 2r^2$

De nuevo $3q^2$ es par, es decir $2|3q^2 \Rightarrow 2|q^2 \Rightarrow 2|q$

Por lo tanto, tenemos $2|p$ y $2|q$ lo que contradice nuestra suposición de $gcd(p, q)= 1$ .

Por lo tanto, $\sqrt{6}$ no puede ser racional.

Answer 3

Si no te importa usar algunas armas más fuertes, entonces El criterio de Eisenstein puede ayudar.

Elija $p=2$ y tomar el polinomio $1x^2+0x-6$ . Desde $$2\not\mid1 ,\quad 2\mid0 ,\quad 2\mid -6 ,\quad 2^2\not\mid-6 ,$$ tenemos que el polinomio es irreducible. Tiene $\sqrt6$ como raíz. Por lo tanto, $\sqrt6$ es algebraica cuadrática y no lineal (=racional).

Answer 4

Utilizando el teorema de la factorización de los primos (todo número entero positivo tiene una única factorización de los primos), podemos escribir, para cualquier número racional $r$ : $$ r = {p\over q} = {{2^{a_1}\cdot 3^{a_2}\cdot 5^{a_3} ...} \over {2^{b_1}\cdot 3^{b_2}\cdot 5^{b_3} ...}} = {2^{c_1} \cdot3^{c_2}\cdot 5^{c_3} ...} $$ donde $a_i$ y $b_i$ son enteros no negativos, y $c_i = a_i - b_i$ son números enteros (posiblemente negativos). Como las factorizaciones de $p$ y $q$ son únicos, la factorización de $r$ también debe ser único.

Así: $$ r^2 = 2^{2 c_1}\cdot 3^{2 c_2} \cdot5^{2 c_3}... $$

Si $r^2 = 6 = 2^1\cdot3^1$ entonces tenemos $2c_1 = 1$ y $2c_2 = 1$ . Esto es imposible.

Esta técnica se generaliza a cualquier número que tenga cualquier factor primo un número impar de veces. También se generaliza a otras raíces. Por ejemplo: $^3\sqrt 4$ .