Identidades de la serie Q #2

Question

Demuestre lo siguiente

$$\frac{1}{(z;q)_{\infty}} = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{z^k}{(q;q)_k}$$

Estoy buscando una prueba que no implique el teorema del binomio q .

donde

$$(a;q)_k = \prod_{n=0}^{k-1}(1-aq^n)$$

Cualquier ayuda es realmente apreciada.

Answer 1

Dejemos que $f(z) = 1/(z;q)_{\infty} = \sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ entonces podemos ver que $(1 - z)f(z) = f(qz)$ y esto significa que $$\sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}z^{k} - \sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}z^{k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}q^{k}z^{k}$$ Comparando los coeficientes obtenemos $a_{k}(1 - q^{k}) = a_{k - 1}$ . Utilizando esta relación de forma recursiva obtenemos $$a_{k} = \frac{a_{0}}{(1 - q^{k})(1 - q^{k - 1})\cdots (1 - q)} = \frac{a_{0}}{(q;q)_{k}}$$ Claramente podemos ver que $a_{0} = 1$ (se obtiene poniendo $z = 0$ en la definición de $f(z)$ ). Por lo tanto, obtenemos $$\frac{1}{(z;q)_{\infty}} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(q;q)_{k}}$$