demostrar que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_\infty)$ está completo.

Question

Supongamos que tengo los espacios métricos $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$ y $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_\infty)$ donde $\|x-y\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^2 (x_i-y_i) }$ y $\|x-y\|_\infty =\max \lbrace{|x_i-y_i|}\rbrace$ para $1 \leq i \leq n$ . Si tengo la desigualdad $$\|x-y\|_\infty \leq \|x-y\|_2$$ y también sé que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_2)$ está completo, puedo conlcuir que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_\infty)$ ¿también está completo?

En realidad mi pregunta original es para demostrar que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_\infty)$ está completo. Si la desigualdad no puede implicar que el espacio métrico sea completo, ¿alguien puede orientarme sobre cómo demostrar la completitud?

Answer 1

Pista: En un espacio de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Esto significa que en su caso $c||\cdot||_{2}\leq||\cdot||_{\infty}\leq C||\cdot||_{2}$ para algunas constantes absolutas $c\leq C$ . Utilice esto para verificar que una secuencia $x_{n}$ converge en $(\mathbb{R},||\cdot||_{\infty})$ si y sólo si $x_{n}$ converge en $(\mathbb{R},||\cdot||_{2})$ que asumió como completa.

Tenga en cuenta que estas métricas son normas, y la afirmación no es cierta para las métricas generales (véase la proyección estereográfica, etc.).

Answer 2

Necesitas más - necesitas constantes positivas $c_1,c_2$ de modo que para todos $x,y$ : $$c_1\|x-y\|_2 \leq \|x-y\|_{\infty} \leq c_2\|x-y\|_2$$

Obviamente, puede elegir $c_2=1$ . Resulta que puedes elegir $c_1=\frac{1}{\sqrt n}$ .

Entonces se puede concluir que cualquier secuencia de Cauchy en $\|\|_{\infty}$ es la secuencia de Cauchy en $\|\|_{2}$ y se puede volver a utilizar la desigualdad anterior para demostrar que cualquier secuencia convergente en $\|\|_2$ converge al mismo valor en $\|\|_{\infty}$ .