¿Cómo tratar los coeficientes del producto en un modelo no lineal?

Question

Estoy considerando un modelo de regresión no lineal como el siguiente:

y=(ax)*(bz)+u,

donde la muestra es IID, u es un término de error aleatorio tal que E(u|x,z)=0, y a y b son coeficientes para x y z, respectivamente. Me gustaría aplicar el estimador de mínimos cuadrados no lineales (NLS) para estimar a y b (es decir, nls(y~ax*bz, start=list(a=1.5,b=0.5) . Sin embargo, hay un problema de identificación de parámetros. En concreto, no puedo obtener las estimaciones de los coeficientes de a y b individualmente pero conjuntamente . Por ejemplo, si el valor verdadero de a*b=-1, entonces puedo obtener a=-1, b=1, o a=1, b=-1.

Pregunta : ¿Es factible obtener las estimaciones de a y b individualmente ?

Answer 1

No, no es factible por razones matemáticas, ya que hay un número infinito de combinaciones de a y b.

$y=(ax)*(bz)+u$

puede escribirse como

$y=(a\cdot x)\cdot(b\cdot z)+u$

que también puede escribirse como

$y=(a\cdot b)\cdot(x\cdot z)+u$

Así se puede estimar el valor óptimo de $(a\cdot b)$ y luego, para cada $a$ que elijas hay un $b = (a\cdot b)\div a$

Eso da un número infinito de soluciones posibles y no le has dado a tu ordenador ninguna pista sobre cuál elegir. Calcule el coeficiente conjunto, llámelo $(a\cdot b)$ y si tiene otras razones (es decir, razones no expuestas aquí) para preferir cualquiera de estos pares de $a$ y $b$ eres libre de elegir.

Por cierto, no es necesario nls para este coeficiente conjunto, puede utilizar lm como en

x <- runif(20, 0, 100)
z <- rnorm(20)
y <- jitter(5*x*z)

# either optimizer
nls(y ~ ab*x*z, start = list(ab=1)) 
# or linear regression
summary(lm(y ~ x:z - 1))

Entre las ventajas de lm son, que no necesita valores de inicio y obtiene un error estándar y R² de forma gratuita.