martingala: Prouve que $(S_n=\frac{R_n}{n+2})$ es una martingala se refiere a $(R_n)$

Question

Una caja tiene bolas rojas y bolas verdes. A cada paso, cogemos una bola y la volvemos a meter en la caja con otra bola del mismo color. Al principio, la caja tiene exactamente una bola roja y otra roja. Sea $R_n$ el número de bolas rojas después de $n$ paso. Demostrar que $$\left(S_n=\frac{R_n}{n+2}\right) $$ es una martingala se refiere a $(R_n)$ .

Q1) Sólo tengo un problema para entender por qué tenemos que $$\mathbb E[R_{n+1}\mid R_0,...,R_n]=\mathbb E[R_{n+1}\mid R_n]\ \ ?$$

Es $R_{n+1}$ y $R_0,...,R_{n-1}$ ¿son independientes? Y si es así, ¿por qué?

Q2) Además, si $$\mathbb E[R_{n+1}\mid R_n=i]=\frac{n+3}{n+2}i$$ con $i\in\{1,...,n+1\}$ ¿Por qué tenemos eso? $$\mathbb E[R_{n+1}\mid R_n]=\frac{n+3}{n+2}R_n\ \ \ ?$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $R_{n+1}=R_n$ si se elige una bola verde en el paso $n+1$ y $R_{n+1}=R_n+1$ si se elige una bola roja en el paso $n+1$ . Por lo tanto, teniendo en cuenta $R_0,\cdots,\ R_{n-1},R_n$ tenemos $R_{n+1}=Z_n R_n+(1-Z_n)(R_n+1)$ donde $Z_n\sim Bin(1-S_n)$ lo que significa que $R_{n+1}$ es independiente de $R_0,\cdots,\ R_{n-1}$ dado $R_n$ .

Así que $$\mathbb{E}(R_{n+1}\mid R_0,\cdots,\ R_{n-1},R_n)=R_n(1-S_n)+(1+R_n)S_n=R_n+S_n=\frac{n+3}{n+2}R_n$$